Ecuația lui Laplace

Ecuația lui Laplace este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul II, utilizată în numeroase domenii științifice: mecanica fluidelor, astronomie, electrostatică, termodinamică, difuzie, mișcare browniană, mecanică cuantică etc. Poartă numele celebrului matematician și astronom francez Pierre-Simon Laplace (1749-1827), care a pus în evidență proprietățile acestei ecuații în studiul câmpului gravitațional.

În spațiul euclidian tridimensional ecuația lui Laplace (în coordonate carteziene) are forma:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\ =\ 0$

Problema matematică constă în găsirea tuturor funcțiilor reale $\psi (x,y,z)$ care verifică această ecuație pentru anumite condiții la limită impuse.

Folosind operatorul laplacian, ecuația poate fi scrisă sub forma compactă:

$\Delta \psi \ =\ 0$

În spațiul euclidian bidimensional, ecuația lui Laplace ia forma:

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$

Se poate demonstra că orice funcție olomorfă este o soluție a ecuației Laplace bidimensionale, atât pentru partea reală cât și pentru partea imaginară a funcției respective.

Ulterior, ecuația lui Laplace a fost utilizată și în alte domenii științifice. Astfel, Simeon Denis Poisson, într-un memoriu din 1813 a extins aplicarea ecuației lui Laplace la câmpul electrostatic produs de o sarcină electrică, enunțând relația cunoscută în prezent ca ecuația lui Poisson^⁠(d):

$\Delta \psi =f$

în care membrul din dreapta este o funcție dată $f(x,y,z)$.

Bibliografie

• fr Caius Iacob, Une introduction mathématique a la mécaniques des fluides, Editions Gauthier-Villars, Paris, 1959.
• Șabac, I., Matematici speciale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Vezi și

• Analiza complexă
• Ecuație cu derivate parțiale
• Laplacian