Ураўненне Лапласа

Ураўне́нне Лапла́са — дыферэнцыяльнае ўраўненне з частковымі вытворнымі

$\Delta u=0,$

дзе Δ — аператар Лапласа, u — шуканая функцыя, вызначаная на некаторай вобласці Ω ⊂ Rⁿ.

У трохмерных прамавугольных дэкартавых каардынатах яно мае выгляд

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0,$

дзе x, y, z — незалежныя пераменныя.

Уведзена П. Лапласам (1782) у працах па нябеснай механіцы і тэорыі гравітацыйнага патэнцыялу.

Да ўраўнення Лапласа зводзіцца шэраг задач фізікі і тэхнікі, напрыклад, яго задавальняе тэмпература пры стацыянарных працэсах, патэнцыял электрастатычнага поля па-за межамі зарадаў, гравітацыйны патэнцыял па-за межамі прыцягальных мас.

Рашэнні ўраўнення Лапласа, якія маюць неперарыўныя частковыя вытворныя да 2-га парадку ўключна, называюцца гарманічнымі функцыямі.

Гл. таксама

• Ураўненне Пуасона

Літаратура

• Лапласа ўраўненне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 9: Кулібін — Малаіта / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1999. — Т. 9. С. 134.
• Лапласа уравнение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 202—203.

Спасылкі

• Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001), "Laplace equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W.. Laplace's Equation (нявызн.). MathWorld.