Cortes de Dedekind

Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjuntos especiais do corpo ordenado $\mathbb {Q}$ , os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano.

Um subconjunto $A\subset \mathbb {Q}$ é um corte se satisfaz as seguintes propriedades:

$\emptyset \not =A\not =\mathbb {Q}$ ;
Se $p\in A$ e $q\in \mathbb {Q}$ é tal que $q<p$ , então temos que $q\in A$ ;
Se $p\in A$ , então $\exists \ q\in A$ , com $p<q$ .

Intuitivamente um corte é uma semirreta racional que não tem maior elemento.

Exemplos de cortes

O conjunto dos números racionais menores que 2;
O conjunto dos números racionais cujos quadrados são menores que dois, unidos com todos os números racionais negativos, ou seja, $A=\{q\in \mathbb {Q} \mid q^{2}<2\}\cup \{q\in \mathbb {Q} \mid q\leqslant 0\}$ .

Definição das Operações

Considerando D o conjunto de todos os cortes, podemos definir uma ordem, uma soma e uma multiplicação de elementos de D, de forma com que D seja um corpo ordenado com a propriedade arquimediana, e finalmente, D, definido dessa forma satisfaz o Postulado de Dedekind, ou seja, D é um corpo completo.

Soma

Queremos definir a função soma $+:D\times D\rightarrow D$ , que leva um par (A,B) em um elemento A+B de D. Definimos $A+B:=\{x+y\in \mathbb {Q} \mid x\in A\land y\in B\}$ . Pode-se provar que o conjunto A+B assim definido é um corte e que a função soma tem as propriedades associativa, comutativa, tem elemento neutro e que todos os cortes tem um oposto aditivo. Desta forma (D, +) é um grupo abeliano.

Ver também