Tall de Dedekind

En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ és una parella (A,B) de subconjunts de $E$ , que formen una partició de E, i on tot element de $A$ és més petit que tot element de $B$ .

De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» $A$ i $B$ , però que no ha de ser per força un element de $E$ .

Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).

Definició

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ es defineix per una parella (A,B), on $A\subset E$ i $B\subset E$ , tals que:

$A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset$
$A\cap B=\emptyset$ # $A\cup B=E$
$\forall x\in A,\forall y\in B,x<y$

Els punts 1, 2 i 3 diuen que $A$ i $B$ constitueixen una partició de $E$ . Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de $E$ en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

$\forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)$ i
$\forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)$ .

Exemples

Construcció dels nombres reals

Si $E=\mathbb {Q}$ , el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}

B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}

Aquest tall permet representar el nombre irracional ${\sqrt {2}}$ que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre $\mathbb {Q}$ permet una construcció del conjunt dels nombres reals $\mathbb {R}$ (vegeu l'article Construcció dels nombres reals).

Ordre sobre els talls de Dedekind

Siguin $(A,B)$ i $(C,D)$ dos talls de Dedekind de $E$ . Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ posant:

(A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C

.

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si $E$ no la posseeix. Submergint $E$ en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

Vegeu també