조화 함수

환형 위에서 정의되는 조화 함수의 예

수학에서 조화 함수(調和函數, harmonic function)는 라플라스 방정식의 해가 되는 함수다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 위의 2차 연속 미분 가능 함수

$f\in {\mathcal {C}}^{2}(U,\mathbb {R} )$

가 다음 편미분 방정식을 따른다면, 이를 조화 함수라고 한다.

$\Delta f=0$

여기서

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

는 라플라스 연산자이다.

성질

정칙성

조화 함수의 정의는 2차 미분 가능성만을 전제로 하지만, 사실 모든 조화 함수는 항상 매끄러운 함수이자 해석 함수임을 보일 수 있다.

최댓값 원리

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$의 콤팩트 부분 집합 $K\subsetneq U$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f\upharpoonright K$는 (콤팩트 공간 위의 연속 함수이므로) 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 경우, $f$가 최댓값 또는 최솟값을 갖게 되는 점은 (상수 함수가 아니라면) 항상 $K$의 경계 $\partial K$에 위치한다.

특히, 조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다.

리우빌 정리에 따르면, $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 정의된 조화 함수 가운데 유계 함수인 것은 상수 함수 밖에 없다.

등각 변환에 대한 불변

2차원에서, 조화 함수는 등각 변환에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환

$\phi \colon U'\to U$

에 대하여, 만약 $f\colon U\to \mathbb {R}$가 조화 함수라면 $f\circ \phi \colon U'\to \mathbb {R}$ 역시 조화 함수이다. (그러나 이는 다른 차원에서 일반적으로 성립하지 않는다.)

예

임의의 차원에서, 상수 함수와 선형 함수는 항상 조화 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

$\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 위에서,

$f({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|^{n-2}}}$

는 조화 함수이다.

1차원

1차원의 공간 위의 조화 함수는 선형 함수

$f(x)=ax+b$

이다. 특히, 원 $\mathbb {S} ^{1}$ 위의 조화 함수는 상수 함수 밖에 없다.

2차원

리만 곡면 위의 정칙 함수의 실수 성분(또는 허수 성분)은 조화 함수를 이룬다.

같이 보기

• 디리클레 문제
• 디리클레 원리
• 열방정식
• 라플라스 방정식
• 푸아송 방정식

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Harmonic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Harmonic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.