Oinarrizko aljebra

Matematikan, oinarrizko aljebra ikasleei irakatsitako aljebrako hasierako gaiak barne hartzen ditu, aritmetika ikasi eta gero, gehienetan adierazpen aljebraikoak laburtu, garatu edo kalkulatzearekin eta ekuazio sinpleak ebaztearekin loturik. Aritmetikan zenbakiekin aritzen den bitartean, oinarrizko aljebran aldagaiak adierazten dituzten $\scriptstyle {x}$, $\scriptstyle {y}$ eta bestelako letra, ikur edo kopuru abstraktuak erabiltzen ere ikasten da. Konplexuagoa den eta matematiketan funtsezkoa den aljebra abstraktutik bereizi behar da.

Aurrekoa erabilgarria da, zeren:

• ekuazio aritmetikoen (eta inekuazioen) orokortzea lege gisa adierazteko aukera ematen baitu (adibidez, a + b = b + a da a eta b guztirako) eta horrela da lehenengo urratsa zenbaki-sistema errealaren propietateen azterketa sistematikorako
• ezagutzen ez diren zenbakiei erreferentzia egiteko aukera ematen du; arazo baten testuinguruan, aldagai batek oraindik ezagutzen ez den balioren bat irudika dezake, baina, ekuazioak formulatuz eta manipulatuz, aurki daitekeena da; eta
• kantitateen arteko erlazio matematikoak aztertzeko aukera ematen du (adibidez, «x sarrerak saltzen badituzu, zure irabazia 3x - $ 10 izango da»).

Hiru horiek dira oinarrizko aljebraren adar nagusiak, zeinak aljebra abstraktutik bereizi behar diren, unibertsitateko ikasleei normalean irakasten zaien irakasgai aurreratuagoa.

Oinarrizko aljebran, adierazpen batek zenbakiak, aldagaiak eta eragiketa aritmetikoak izan ditzake. Konbentzioz, horiek, normalean, ezkerrean berretzaile handiagoak dituzten terminoekin idazten dira (ikus polinomioa); adibide batzuk hauek dira:

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a\cdot (b+x^{3})+{\frac {42}{y}}-\pi .\,$

Aljebra aurreratuagoan, adierazpen batek oinarrizko funtzioak ere izan dezake.

Ekuazioa bi adierazpenak berdinak direla dioena da. Ekuazio batzuk egiazkoak dira inplikatutako aldagaien balio guztietarako (adibidez, $\,a+b=b+a$); halako ekuazioak identitateak deitzen dira. Baldintza-ekuazioak inplikatutako aldagaien balio batzuetarako soilik dira egiazkoak: $\,x^{2}-1=3$. Ekuazioa egia bihurtzen duten aldagaien balioei, ekuazioaren soluzio deitzen zaie.

Eragiketa aljebraikoak

Eragiketa aljebraikoak adierazpen aljebraikoak eratzeko erabiltzen direnak dira.

Eragiketa aljebraikoak

Eragiketa	Ikurra	Adibidea
Batuketa	+	2+3=5
Kenketa	-	6-2=4
Biderketa	×, •, ondoratuz (aldagaietarako)	5×2=10, 5•2=10, y+y=2×y=2y
Zatiketa	:, / , ÷	6:2=3, 6/2=3, $\scriptstyle {{\frac {6}{2}}=3}$
Berreketa	$\scriptstyle {a^{b}}$ (a ber b)	$\scriptstyle {2^{3}}=2\times 2\times 2=8$
Erroketa	$\scriptstyle {\sqrt[{n}]{k}}$ (n erro k)	$\scriptstyle {{\sqrt[{3}]{8}}=2}$, $\scriptstyle {2^{3}=8}$ baita.

Adierazpen aljebraikoak

Adierazpen aljebraikoak eragiketa aljebraikoez (+,-,×,/, berreketa eta erroketa) lotutako konstante eta aldagai segida da, zenbakiz eta letrez adierazita. Adibidez:

$4x^{2}\ \ \ ;\ \ \ 10x+y\ \ \ ;\ \ \ {\sqrt {5+xz}}\,$

Adierazpen aljebraikoak helburu ezberdinekin eratzen dira:

• ekuazioak osatzeko (adibidez $7x=21\,$); berdin (=) ikurrak adierazten du bi aldetan dauden bi adierazpen aljebraikoek balio berbera irudikatzen dutela;
• formula hainbat aldagai (letraz adierazita) dituen berdintza bat da, eta letra horiek zenbakiz ordeztuz, balio bat kalkulatzen da (ezkerreko atalak, askotan, letra bakarra izaten du, formula izendatzeko): $V=M/d\,$
• identitatea bi adierazpen aljebraikoren berdintza da, balio guztietarako egiaztatzen dena; adibidez, $a+b+3a=4a+b\,$.

Aldagaiak letraz adierazten dira eta kopuru abstraktu ezezagun edo zehaztugabea adierazten dute. Adibidez, x gela bateko ikasle kopuru ezezaguna izan daiteke eta y ogiaren salneurria.

Adierazpen aljebraikoen gaiak

Adierazpen aljebraikoak gai ezberdinetan banatzen dira. Adibidez, $4x^{2}+5xy-4y+6\,$ adierazpenak lau gaitan banatzen da: <math4x^2\,</math>, $+5xy\,$, $-4y\,$ eta $+6\,$.

Erregela orokor moduan eta hitzarmenez, gai bakoitzean aurretik zenbakiak eta ondoren letrak jartzen dira. Adibidez <math4x^2\,</math> idazten da (4 bider x²) eta ez $x^{2}4\,$.

Adierazpen aljebraiko sinpleena monomio bat da, konstante eta aldagaien biderketaz eta zenbaki osozko berreketaz osaturiko gai bakarreko adierazpen aljebraikoa alegia. Adibidez, $4x^{2}\,$, $y^{5}\,$, $xy\,$ monomioak dira. Aitzitik, $4x^{\frac {1}{2}}\,$ ez da monomio bat berretzailea zenbaki osoa ez delako. Bi monomioen batuketaz (edo kenketaz) binomioa sortzen da. Hiru monomioen batuketaz trinomioa sortzen da. Monomio batzuk batu edo kentzen badira, polinomioak sortzen dira. Adibidez, $6x^{4}+4x^{2}+6x+2\,$ polinomio bat da. Monomioak, binomioak eta trinomioak ere polinomioak dira.

Gaiak eta zeinuak

Gaiak positiboak zein negatiboak izan daitezke. Adibidez, $\scriptstyle {4x}$ gaia positiboa da, aurrez zeinurik ez badago positibotzat hartzen baita. $\scriptstyle {+5xy}$ ere positiboa da. $\scriptstyle {-4y}$ negatiboa da: -4 bider y edo -y-y-y-y adierazten du.

Adierazpen aljebraikoetako gaiak lantzerakoan, aurrez zeinu (+ edo -) erantsi behar izaten zaie. Orduan laburketa hauek egin daitezke:

Zeinuak nola laburtu

Zeinuak	Emaitza	Adibidea
+ +	+	+(+5y)=+5y=5y
+ -	-	+(-5y)=-5y
- +	-	-(+5y)=-5y
- -	+	-(-5y)=+5y=5y

Adierazpen aljebraikoen batuketa eta kenketa

Adierazpen aljebraikoen batuketak eta kenketak egiterakoan, antzeko gaiak, aldagai berdinak eta berretzaile berdinak dituzten gaiak soilik bil daitezkeela hartu behar da kontuan. Bil daitezkeen gaien koefizienteen batura egiten da orduan. Gai batek aurretik koefizienterik ez badu, 1 dela suposatzen da (x=1x, alegia). Adibidez:

• $3x^{2}+(2x^{2}+4xy)=5x^{2}+4xy\,$

• $(6xy+3x+5y+8)+(2xy+x+y+2)=8xy+4x+6y+10\,$

• $(x^{2}+2x+1)+(y^{2}+2y+1)=x^{2}+y^{2}+2x+2y+2\,$

Gehi (+) eta ken (-) zeinuak batera agertzen badira, arestiko erregelak erabiltzen dira:

$(x^{2}+4x+1)+(x^{2}-x)=x^{2}+4x+1+x^{2}+(-x)=x^{2}+4x+1+x^{2}-x=2x^{2}+3x+1\,$

Kenketan ere zeinuak bateratzeko erregelak erabili behar dira:

$(3x^{2}-5x+2)-(-2x^{2}+4x-3)=3x^{2}-5x+2-(-2x^{2})-(+4x)-(-3)=3x^{2}-5x+2+2x^{2}-4x+3=5x^{2}-9x+5\,$

Adierazpen aljebraikoen biderketa

Adierazpen aljebraikoak biderkatzeko, bi adierazpenetako gai guztiak elkarren artean biderkatzen dira, gai berrien koefizientea koefizienteen biderkadura eta, aldagai bakoitza bere aldetik, aldagai bakoitzaren berretzaileak berretzaileen batura izanik. Berretzaileen batuketa egiterakoan, x=x¹ (eta berdin, noski, beste ikur guztietarako) betetzen dela hartu behar kontuan. Adibidez:

$(6x^{2}+3)\times (2x+y+6)=6x^{2}\times 2x+6x^{2}\times y+6x^{2}\times 6+3\times 2x+3\times y+3\times 6=12x^{3}+6x^{2}y+36x^{2}+6x+3y+18=12x^{2}+6xy+42x+3y+18\,$

Adierazpen aljebraikoen zatiketa

Adierazpen aljebraikoak zatitzeko prozedura orokorrean, izendatzailea gai ezberdinetan banatu eta zenbakitzaileaz zatitzen da, berdinak diren faktoreak edo biderkagaiak ezabatuz. Zatiketa biderketa bihur daiteke, zenbakitzailearen faktoreen berretzailean zeinua aldatuz. Adibidez:

${\frac {6x^{2}+9xy+8xz+y^{2}}{2xz}}={\frac {6x^{2}}{2xz}}+{\frac {9xy}{2xz}}+{\frac {8xz}{2xz}}+{\frac {y^{2}}{2xz}}=3xz+{\frac {9}{2}}yz^{-1}+4+{\frac {1}{2}}y^{2}x^{-1}z{-1}$

Adierazpen aljebraikoen berreketa

Ikasle askok adierazpen aljebraikoak berretzean egiten duten okerra, modu zuzenarekin batera.

Adierazpen aljebraiko bat berretzea adierazpen hori behin eta berriz biderkatzea da. Adibidez:

$(x+y)^{3}=(x+y)\cdot (x+y)\cdot (x+y)=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

Komeni da binomio karratuen formulak ikastea:

• $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\,$

• $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\,$

• $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\,$

Monomio bat berretzeko, berrekizun bakoitzaren berretzaileak biderkatu egiten dira. Berrekizun batek berretzailerik ez duenean, bere berretzailea 1 da. Adibidez:

• $(3x^{2}y)^{2}=3^{2}x^{4}y^{2}=9x^{4}y^{2}\,$

• ${\Big (}{\frac {x}{2y}}{\Big )}^{3}={\frac {x^{3}}{2^{3}y^{3}}}={\frac {1}{8}}x^{3}y^{-3}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q211294
• Multimedia: Elementary algebra / Q211294