Trougao

Trokut

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao $\triangle ABC$. Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

Vrste trouglova

Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.

Prema unutrašnjim uglovima

Pravougli trougao

Glavni članak: Pravougli trougao

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.

Obim je

$O=a+b+c$

Površina je

$P={\frac {ab}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}}$

Prečnik opisanog kruga: $R=2t_{c}=c$

Tupougli trougao

Glavni članak: Tupougli trougao

Tupougli trougao je trougao kod kojeg je jedan unutrašnji ugao veći od 90 stepeni i taj ugao se naziva (tupi ugao).

Oštrougli trougao

Glavni članak: Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manja od 90 stepeni (kosi uglovi).

• 
  Pravougli trougao
• 
  Tupougli trougao
• 
  Oštrougli trougao

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu

Jednakostranični trougao

Glavni članak: Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

$\alpha =\beta =\gamma =60^{o}$

$a=b=c$

Obim $O=3a$

Površina $P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$

Visina $h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

Poluprečnik opisanog kruga $R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$

Poluprečnik upisanog kruga $r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$

Jednakokraki trougao

Glavni članak: Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.

$\alpha \neq \beta =\gamma$

$a\neq b=c$

Obim $O=a+2b$

Površina je $P={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$

Visina $h_{a}^{2}=b^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Raznostranični trougao

Glavni članak: Raznostranični trougao

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također različiti.

$\alpha \neq \beta \neq \gamma$

$a\neq b\neq c$

Poluprečnik opisamog kruga $2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

• 
  Jednakostranični trougao
• 
  Jednakokraki trougao
• 
  Raznostranični trougao

Obim trougla

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

$O=a+b+c$

Obim jednakokrakog trougla je

$O=a+2b$

Obim istostraničnog trougla je

$O=3a$

Površina

• Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.

P = (b·h)/2,

Grafički prikaz površine trougla

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): $P=\scriptstyle {\sqrt {(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))}}$ gdje je $s$ poluobim trougla; $s=(a+b+c)/2$

$P={\frac {abc}{4R}}=rs$

$P={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ac\sin \beta }{2}}$

Neka su date koordinate vrhova trougla $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$,$C(x_{3},y_{3})$ površina trougla je

$P={\frac {(x_{2}-x_{1})(y_{2}+y_{1})+(x_{3}-x_{2})(y_{3}+y_{2})+(x_{1}-x_{3})(y_{1}+y_{3})}{2}}$

Osobine trouglova (teoreme)

• Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).

$\alpha +\beta +\gamma =180^{o}$.

Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;

Zbir spoljašnjih uglova iznosi $360^{o}\,$.

$\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1}=360^{o}$.

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao

$\alpha _{1}+\alpha =180^{o}$

$\beta _{1}+\beta =180^{o}$

$\gamma _{1}+\gamma =180^{o}$

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.

$\alpha _{1}=\beta +\gamma$

$\beta _{1}=\alpha +\gamma$

$\gamma _{1}=\alpha +\beta$

• Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
• Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

• U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$

Značajne tačke trougla

Centar opisane kružnice trougla $O_{o}$ nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je

$R=O_{o}A=O_{O}B=O_{o}C$

Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

Centar upisane kružnice trougla $O_{u}$ nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je

$r=O_{u}P$

Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla

$t_{a}\cap t_{b}\cap t_{c}=T$

$TA=2TA_{1}$

$TB=2TB_{1}$

$TC=2TC_{1}$

Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla

$h_{a}\cap h_{b}\cap h_{c}=H$

Sličnost trougla

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.

Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.

${\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}=k$; $\measuredangle \alpha =>\measuredangle \alpha _{1}=>$ :$\vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_{1}B_{1}C_{1}}$

Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična

${\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}={\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}=k=>$; <$\vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_{1}B_{1}C_{1}}$

Ako se stranice dva slična trougla odnose kao :$m:n$ tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :$O:O_{1}=m:n$, a površine se odnose kao :$P:P_{1}=m^{2}:n^{2}$.

Ako je dužina hipotenuze $c=p+q$ onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo

$a^{2}=qc$

$b^{2}=pq$

${h_{c}}^{2}=pq$

Trougao u kompleksnoj ravni

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi $A_{1}A_{2}A_{3}$ i $B_{1}B_{2}B_{3}$ su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je ${\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}={\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}$

Dokaz

$\triangle A_{1}A_{2}A_{3}\sim \triangle B_{1}B_{2}B_{3}$ onda i samo onda ako je $A_{1}A_{2}/A_{1}A_{3}=B_{1}B_{2}/B_{1}B_{3}$

${\begin{vmatrix}{\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{3}-b_{1}}}\end{vmatrix}}$ i $arg{\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}=arg{\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}$

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

${\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{3}-a_{1}}}={\frac {b_{2}-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}$

Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

${\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=0$

Lako je provjeriti da za trouglove $A_{1}(0)$, $A_{2}(1)$, $A_{3}(2i)$ i $B_{1}(0),B_{2}(-i),B_{3}(-2)$ ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena $A_{1},A_{2},A_{3}$ trougla $A_{1}A_{2}A_{3}$ određena su kompleksnim brojevima $z_{1},z_{2},z_{3}$ respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $A_{1}A_{2}A_{3}$ je jednakostraničan trougao
2. $\mid z_{1}-z_{2}\mid =\mid z_{2}-z_{3}\mid =\mid z_{3}-z_{1}\mid$
3. $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}z_{1}+z_{3}z_{1}$
4. ${\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z-1}}={\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z-2}}$
5. ${\frac {1}{z-z_{1}}}+{\frac {1}{z-z_{2}}}+{\frac {1}{z-z_{3}}}=0$ gdje je $z={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}$
6. (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za $\epsilon =\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}$
7. ${\begin{vmatrix}1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\z_{2}&z_{3}&z_{1}\end{vmatrix}}=0$

Ako su tjemena $A_{1},A_{2},A_{3}$ pozitivno orjentisanog trougla $A_{1}A_{2}A_{3}$ sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

1. $A_{1}A_{2}A_{3}$ je jednakostraničan trougao
2. $z_{3}-z_{1}=\epsilon (z_{2}-z_{1})$ za $\epsilon \cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}$
3. $z_{2}-z_{1}=\epsilon (z_{3}-z_{1})$ za $\epsilon \cos {\frac {5\pi }{3}}+i\sin {\frac {5\pi }{3}}$
4. $z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3}=0$

Također pogledajte

• Kosinusni teorem
• Sinusni teorem
• Tangensni teorem
• Pedoeova nejednakost
• Pitagorina teorema
• Pravougli trougao

Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.