Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler

I birim matris olmak üzere.

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

• Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

${\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}$

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ_i ±1 olduğu açıkça görülebilir.

• Birim matris I (bazen σ₀ olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları

$\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!$

$\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\quad i\neq j\,\!$

• Yukarıdaki ifadeler kullanılarak $\varepsilon _{ijk}$ Levi-Civita sembolü, $\delta _{ij}$ Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

${\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}$

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

$\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,$.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

${\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,$

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

$({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad (1)\,$

(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)

en genel tanımıyla ${\vec {a}}=a{\hat {n}}$ olarak verilen bir a vektörü için

$e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,$

(1)' in ispatı

$({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})\,$	$=a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\,$
	$=a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\,$
	$=a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\,$
	$=a_{i}b_{j}\delta _{ij}+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\,$
	$={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\,$

(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,$

tek kuvvetler için

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,$

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

$e^{ix}\,$	$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\,$
	$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,$

$x=a({\hat {n}}\cdot \sigma )\,$ yerine koyularak

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{2n!}}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,$

sonuçta,

$e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,$

ifadesine ulaşılır.

Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

$S_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}\quad i=1,2,3$

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin $\pm \hbar /2$ olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.