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パウリ行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

パウリ行列(パウリぎょうれつ、: Pauli matrices)、パウリのスピン行列(パウリのスピンぎょうれつ、: Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである[1][2]σシグマ)で表記されることが多い。量子力学スピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された[3]

添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

基本的な性質

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パウリ行列は次の性質を満たす[1][2]

エルミート性・ユニタリ性

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パウリ行列は

を満たすエルミート行列であり、

を満たすユニタリ行列でもある。

パウリ行列の積

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パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について

が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δijエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて

と書くことができる。

交換関係・反交換関係

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パウリ行列の交換関係反交換関係は一般的に

となる。

交換関係 反交換関係
    

固有値・固有ベクトル

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それぞれのパウリ行列は、固有値 +1−1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

である。

トレース・行列式

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パウリ行列 σk (k = 1, 2, 3)トレース (Tr) は 0 となり、行列式 (det) は −1 となる。

2次単位行列 σ0 = I を含めた場合、

である。

単位行列を含めたパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) について、

が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト=シュミット内積英語版 A, B⟩ = Tr(AB) について、直交する。

複素行列の展開

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複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす[4]。よって、任意の複素2次行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3)線形結合として、次の形で書ける。

ここで複素係数 sμ

で与えられる。

また、任意の2次エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 sμ実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトル英語版と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

指数関数

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パウリ行列の性質

から、その行列指数関数オイラーの公式の類似である関係式

を満たす[5]。 さらに実ベクトル a = (a1, a2, a3) ∈ R3 とパウリ行列の組 σ = (σ1, σ2, σ3) に対し、

が成り立つ[2]。ただし、n

で与えられる単位ベクトルである。

a が実ベクトルの場合、exp(i aσ) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた k (k = 1, 2, 3)SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2)基底であることによる。

SU(2)の生成子

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パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である[1][5][6]。パウリ行列に i/2 を乗じた

𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係

を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースが 0 かつ反エルミート

である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクト連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、

の形で与えることができる。

スピン角運動量

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量子力学において、パウリ行列はスピン 1/2角運動量演算子の表現に現れる[1][2]。角運動量演算子 J1, J2, J3 は交換関係

を満たす。ただし、ℏ = h/2πディラック定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は

と表すことができる。ここで、

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1, J2, J3 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J31/2 の固有値は +/2, −/2 であり、スピン 1/2 の状態を記述する。

ガンマ行列の表現

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パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σμ (μ= 0, 1, 2, 3) は反交換関係

を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。

順時固有ローレンツ群とSL(2,C)

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パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる[7][8]ローレンツ群 L = O(3, 1)一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛT = g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

一方、順時固有ローレンツ群 L+ = SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

として、定義される[9]。ここで4元ベクトル x = (x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列

を導入する。その行列式は

であり、ミンコフスキー内積 x, x を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換

を定義すると、

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A) = Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L+ への2対1の準同型写像を与える。そのZ2 = {±1} であり、群の同型対応

が成り立つ。

四元数の表現

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パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。

を導入すると、関係式

を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式

と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像

は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この

であり、HMR-多元環として同型である。

脚注

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  1. ^ a b c d 猪木、河合(1994)、第7章
  2. ^ a b c d J.J Sakurai and Jim Napolitano(2010), chapter 3
  3. ^ Pauli, W. (1927). “Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons”. Zeitschrift für Physik 43 (9): 601-623. doi:10.1007/BF01397326. ISSN 0044-3328. 
  4. ^ 内積はヒルベルト=シュミット内積とする。
  5. ^ a b 平井、山下 (2003)、第4章
  6. ^ 佐藤 (1992)、第5章
  7. ^ 佐藤 (1992)、第8章
  8. ^ 平井、山下 (2003)、第5章
  9. ^ 相対論での慣習に従い、添え字は 0, 1, 2, 3 をとるものとする。

参考文献

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関連項目

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