Laplaces ekvation

Laplaces ekvation, en partiell differentialekvation med namn efter Pierre Simon de Laplace. Dess allmänna form är

$\nabla ^{2}u=0,$

där $\nabla ^{2}$ är Laplaceoperatorn. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs ekvationen

$\nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$.

En funktion som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmonisk.

Laplaces ekvation uppträder ofta i vitt skilda fysikaliska sammanhang när en process uppnått jämvikt, så kallat stabilt tillstånd. Ett exempel är när en uppvärmd kropp/massa når jämvikt, då den inre värmefördelningen inte längre förändras. En sådan kropps värmeledningsekvation är lösning till Laplaces ekvation.

Poissons ekvation är en generalisering av Laplaces ekvation.