Sweeney stabilì il primato di yard passate in carriera a Fresno State che resiste ancora oggi. Fu scelto nel corso settimo giro (180º assoluto) del Draft NFL 1987 dai Dallas Cowboys[1] e divenne solamente il terzo quarterback rookie della franchigia a partire come titolare dopo Don Meredith (1960) e Roger Staubach (1969). Rimase due stagioni con i Cowboys lanciando complessivamente 7 touchdown e 6 intercetti. La sua carriera si concluse disputando la stagione 1991 con i Montreal Machine della World League of American Football.