Identità di Eulero

La funzione esponenziale e^z può essere definita come il limite di (1 + z/N)^N per N che tende a infinito. Pertanto, e^iπ è il limite di (1 + iπ/N)^N. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di (1 + iπ/N)^N è visualizzato come l'effetto dell'iterazione di N moltiplicazioni nel piano complesso, con l'ultimo puntino che rappresenta il valore effettivo di (1 + iπ/N)^N. Si può osservare, all'aumentare di N, il tendere di (1 + iπ/N)^N al limite −1.

In matematica, l'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è uguale a pi greco.

L'identità

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

${\textstyle e^{i\pi }+1=0}$

dove:

$1$ e $0$ sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,

$e$ è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali,

$i$ è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è $-1$, e

$\pi$ è pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

$e^{i\pi }=-1.$

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato

L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nell'Introductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi. Tale formula si può scrivere come segue:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

per ogni numero reale $x$, essendo cos la funzione coseno e sin la funzione seno. L'identità di Eulero può essere ricavata come caso particolare di questa relazione: se infatti $x=\pi$, allora

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi ,$

e poiché

$\cos \pi =-1,$

e

$\sin \pi =0,$

segue che

$e^{i\pi }=-1.$

Percezione dell'identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità." Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica". Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

• Il numero $0$, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni $a$, $a+0=0+a=a$). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
• Il numero $1$, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni $a$, $a\times 1=1\times a=a$). Vedi 1 (numero).
• Il numero $\pi$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
• Il numero $e$ è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy/dx=y$ con condizione iniziale $y(0)=1$ è $y=e^{x}$).
• L'unità immaginaria $i$ (dove $i^{2}=-1$) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
• La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $\pi$), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ($e$), irrazionali immaginari ($i\cdot \pi$), e interi ($1$).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi $0$ e $1$ sono collegati al campo dei numeri complessi.

Bibliografia

• Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
• Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• David Stipp, L'equazione di Dio. Eulero e la bellezza della matematica, Codice Edizioni, 2018, ISBN 8875787549.

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Collegamenti esterni

• (EN) Proof of Euler's Identity by Julius O. Smith III, su ccrma-www.stanford.edu. URL consultato il 30 agosto 2005 (archiviato dall'url originale il 4 novembre 2005).
• (EN) Proof of Euler's Relation by Craig Lewis, su DJTricities.com. URL consultato il 5 giugno 2019 (archiviato dall'url originale il 13 marzo 2009).
• (EN) Articolo in Frontiers in Human Neuroscience, su journal.frontiersin.org.
• Formula e identità di Eulero Formula e identità di Eulero, potenze e logaritmi complessi. Lezione interattiva.