Teleskoperande serie eller teleskopsumma är en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras. Låt
(
a
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty {}}}
∑
n
=
1
m
a
n
−
a
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}}
Ett enkelt induktionsbevis visar att
∑
n
=
1
m
a
n
−
a
n
+
1
=
a
1
−
a
m
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=a_{1}-a_{m+1}}
Om vi dessutom antar att
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow {}\infty }a_{n}=L}
∑
n
=
1
∞
a
n
−
a
n
+
1
=
lim
m
→
∞
∑
n
=
1
m
a
n
−
a
n
+
1
=
lim
m
→
∞
a
1
−
a
m
+
1
=
a
1
−
L
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty {}}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}\sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}a_{1}-a_{m+1}=a_{1}-L}
varav summan är konvergent och lika med
a
1
−
L
{\displaystyle a_{1}-L}
Ett enkelt exempel är serien
∑
n
=
2
∞
1
n
(
n
−
1
)
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
2
N
1
n
(
n
−
1
)
=
lim
N
→
∞
1
2
+
1
6
+
1
12
+
.
.
.
+
1
N
(
N
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...+{\frac {1}{N(N-1)}}}
där man kan skriva om varje term enligt
1
n
(
n
−
1
)
=
n
−
(
n
−
1
)
n
(
n
−
1
)
=
1
n
−
1
−
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}={\frac {n-(n-1)}{n(n-1)}}={\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}
Genom att sätta in detta i serien får man nu
∑
n
=
2
∞
1
n
−
1
−
1
n
=
lim
N
→
∞
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+
.
.
.
+
1
N
−
1
−
1
N
=
lim
N
→
∞
1
−
1
N
=
1
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{N-1}}-{\frac {1}{N}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{N}}=1}