Galoisgrupp

Inom matematiken, mer specifikt inom delen av abstrakt algebra känd som Galoisteori, är Galoisgruppen av en viss kroppsutvidgning en grupp associerad med kroppsutvidgningen. Studien av kroppsutvidgningar via Galoisgrupper kallas Galoisteori efter Évariste Galois som först upptäckte Galoisgrupper.

Definition

Anta att E är en kroppsutvidgning av kroppen F (vilket skrivs som E/F, läs E över F). En automorfism av E/F definieras som en automorfism av E som fixerar F punktvis. I andra ord är en automorfism av E/F en isomorfism α från E till E så att α(x) = x för alla x i F. Mängden av automorfismer av E/F bildar en grupp med operationen sammansättning av funktioner.Gruppen betecknas ibland med Aut(E/F).

Om E/F är en Galoisutvidgning kallas Aut(E/F) Galoisgruppen av (utvidgningen) E över F, och betecknas vanligtvis med Gal(E/F).

Exempel

• Gal(F/F) är den triviala gruppen som har bara ett element, nämligen identitetsfunktionen..

Egenskaper

Vikten av att en utvidgning är Galois är att den då satisfierar Galoisteorins fundamentalsats: de slutna delgrupperna (i förhållande till Krulltopologin) av Galoisgruppen korresponderar till mellankropparna av kroppsutvidgningen.

Om E/F är en Galoisutvidgning, då kan Gal(E/F) ges en topologi, känd som Krulltopologin, som gör den till en proändlig grupp.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Galois group, 12 december 2013.

Källor

• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (Second), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, "211" (Revised third), New York: Springer-Verlag, , ISBN 978-0-387-95385-4