Sinusna teorema

Sinusna teorema je formula koja se koristi za rešavanje trougla u trigonometriji ravni:

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},

gde su A, B, C uglovi naspram stranica a, b, c trougla ABC, odnosno, to je sledeća formula koja se koristi u sfernoj trigonometriji za rešavanje sfernog trougla:

{\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.

Trigonometrija u ravni

Sinusna teorema: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$ gde su $\ a,b,c$ stranice naspram uglova $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,$ trougla $\ ABC,$ a $\ R$ poluprečnik opisanog kruga.

Dokaz: Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno. $CA'=2R$ je prečnik. Znamo da su periferni uglovi nad istom tetivom $BC=a$ jednaki, tj. $\alpha =\angle BAC=\angle BA'C,$ te da je periferni ugao $\angle CBA'$ nad prečnikom CA' prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo $\sin \alpha ={\frac {a}{2R}},$ a otuda ${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.$ Slično dobijamo za uglove $\beta ,\;\gamma .$ Kraj dokaza.

Teorema 2: Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli suprotnu stanicu na delove proporcionalne naleglim stranama.

Dokaz: Na slici (2) levo, dati su trougao ABC i simetrala CD ugla C. Simetrala deli ugao C na dva jednaka dela $\angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).$ Označimo ugao $\angle ADC=\theta ,$ pa je $\angle CDB=180^{o}-\theta .$ Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo: $AD:AC=\sin \phi :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .$ Otuda je $\ AD:AC=DB:CB,$ što je i trebalo dokazati. Kraj dokaza.

Primeri

Sinusna teorema se često upotrebljava za rešavanje trougla, tj. nalaženje ostalih elemenata trougla (stranica, uglova), kada su dati neki od njih. Teorema se sastoji od tri formule (jednačine), od kojih su samo dve mogu upotrebiti u datom zadatku. Mi biramo dve jednačine koje sadrže tri od poznatih veličina, a samo jednu nepoznatu. To znači, da bismo upotrebili sinusnu teoremu za rešavanje trougla, moramo poznavati vrednosti ili

dva ugla trougla i jednu stranicu (USU), ili
dve strane trougla i suprotni ugao (SSU).

1. Primer (USU): U $\Delta ABC,\;BC=7cm,\;\angle A=41^{o},\;\angle B=62^{o}.$ Naći dužinu stranice AC.

Rešenje: ${\frac {7}{\sin 41^{o}}}={\frac {b}{\sin 62^{o}}}\Rightarrow b={\frac {7\sin 62^{o}}{\sin 41^{o}}}=9,4208....$ Prema tome, $AC=9,42$ sa tačnošću do 3 značajne cifre.

2. Primer (USU): U trouglu $ABC,\;AC=15cm,\;\angle A=107^{o},\;\angle B=32^{o}.$ Naći AB.

Rešenje: Dve stranice su aktuelne b i c, pa pre korištenja sinusne teoreme moramo pronaći ugao S. Iz $\angle A+\angle B+\angle C=180^{o},$ (v. zbir uglova u trouglu) sledi $\angle C=41^{o}.$ Zatim, iz sinusne teoreme ${\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},$ tj. ${\frac {15}{\sin 32^{o}}}={\frac {c}{\sin 41^{o}}},$ dobijamo $c={\frac {15\cdot \sin 41^{o}}{\sin 32^{o}}}=18,5705....$; Prema tome, stranica AB = 18,57 je tačna na 3 značajne cifre.

Razmotrimo slučajeve trougla određenog sa dve stranice i jednim uglom.

Ako je dat ugao između dve strane, onda je moguće samo jedno rešenje, slika (5) desno.
Ako dati ugao nije između dve strane, tada je ponekad moguće konstruisati dva trougla sa datim podacima.
Razmotrimo, na primer, trougao gde je $\angle A=20^{o},\;b=10,\;a=8.$

Dva trougla sa ovim podacima su data na slici (5) desno, sa oštrim uglom i sa tupim uglom, oba označena sa B.

Međutim, nisu uvek moguća dva rešenja, na primer, ako je

\angle A=20^{o},\;b=6,\;a=8,

onda postoji samo jedan trougao sa datim podacima.

Opšte pravilo je, pri upotrebi sinusne teoreme za izračunavanje ugla trougla, veoma je važno proveriti da li je moguć tupi ugao kao jedno od rešenja.

3. Primer (SSU): U trouglu ABC naći ugao S kada je dato $AB=6cm,\;BC=4cm,\;\angle A=36^{o}.$

Rešenje: Tražimo ugao iz ${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin C}{c}}\;\Rightarrow \;{\frac {\sin 36^{o}}{3}}={\frac {\sin C}{6}}.$ Otuda je $\sin C={\frac {6\cdot \sin 36^{o}}{4}}=0,86036....$ Ugao čiji sinus je 0,86... je približno 59° (do najbližeg stepena), ali postoji još jedan, tupi ugao, sa istim sinusom, tj. 121° (do najbližeg stepena). Takav tupi ugao C₁ i oštri ugao C₂, na slici (6) levo, definišu dva različita trougla AC₁B i AC₂B sa istim početnim podacima. U prvom od navedenih trouglova ugao B je 23°, a u drugom 85°, jer je $\angle A+\angle B+\angle C=180^{o}$ (v. zbir uglova u trouglu).

4. Primer (SSU): U trouglu $XYZ,\;\angle Y=42^{o},\;XZ=10,\;YZ=7.$ Naći ugao H.

Rešenje: Iz sinusne teoreme ${\frac {\sin X}{x}}={\frac {\sin Y}{y}}\;\Rightarrow \;{\frac {\sin X}{7}}={\frac {\sin 42^{o}}{10}}.$; Otuda $\sin X={\frac {7\cdot \sin 42^{o}}{10}}=0,46839....$; Postoje dva ugla čiji je sinus 0,46839..., to su približno 28° i 152° (do najbližeg stepena). Proveravamo da li je ugao od 152° moguća vrednost za ugao H. Dakle $\angle X+\angle Y=152^{o}+42^{o}=194^{o}.$ To je više od 180°, što je inače zbir uglova u trouglu, pa ovaj ugao ne dolazi u obzir. Prema tome, jedini mogući ugao temena H ovog ovog trougla je 28°.

O čemu se zapravo radilo u poslednjem primeru (4)? Na slici (7) desno vidimo da kružnica poluprečnika 10 sa centrom u Z seče stranicu XY u samo jednoj tački (H). To uporedimo sa prethodnim primerom (3) i slikom (6) gde je slična kružnica, sa poluprečnikom 4 i sa centrom u B presekla stranicu AS na dva mesta, u tačkama C₁ i C₂. U tom prethodnom primeru (3), dati ugao 36° nalazi se naspram manje (4) od datih stranica, pa podaci SSU daju dva rešenja. Međutim, u poslednjem primeru (4), dati ugao 42° nalazi se naspram veće (10) od datih stranica, i podaci SSU daju samo jedno rešenje. Saglasno tome, stav SSU podudarnosti trouglova glasi: dva trougla su podudarna kada su im date dve stranice i ugao naspram veće.

Povezano