Tetraedru

Descriere
Tetraedru

(animație, model 3D)
Tip	poliedru platonic
Fețe	4
Laturi (muchii)	6
Vârfuri	4
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3
Simbol Wythoff	3 \| 2 3 \| 2 2 2
Simbol Schläfli	{3,3} h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Simbol Conway	T
Diagramă Coxeter	=
Grup de simetrie	T_d, A₃, [3,3], (*332)
Grup de rotație	T, [3,3]⁺, (332)
Unghi diedru	70.528779° = arccos(¹⁄₃)
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	regulat, convex
Figura vârfului

Desfășurată

Tetraedrul este un poliedru alcătuit din patru fețe triunghiulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru vârfuri. Tetraedrul este cel mai simplu tip de piramidă, la care baza este un triunghi, de aceea mai este denumit și piramidă triunghiulară.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale și este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate.

Mărimi asociate tetraedrului regulat

În tabelul de mai jos a este latura tetraedrului regulat.

Aria bazei	$A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}\,$
Aria totală	$A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,$
Înălțimea	${\sqrt {2 \over 3}}\,a\,$
Volumul	$V={1 \over 3}A_{0}h={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$
Unghiul dintre o față și muchie	$\arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})\,$ (aprox. 54.7356°)
Unghiul dintre două fețe	$\arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})\,$ (aprox. 70.5288°)
Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri	$\arccos \left({-1 \over 3}\right)\,$ (aprox. 109.4712°)
Unghiul solid sub care este văzută o față din vârful opus	$3\arccos \left({1 \over 3}\right)-\pi \,$ (aprox. 0.55129 steradiani)

Inegalități într-un tetraedru

Fie $OABC$ un tetraedru de volum V, unde $a,b,c$ sunt lungimile muchiilor feței $[ABC],$ iar $d,e,f$ ale muchiilor $OA,OB,OC$ și R raza sferei circumscrise. Atunci există inegalitățile:

1) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}\leq 16R^{2};$

2) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (d^{2}+e^{2}+f^{2})\leq 64R^{4};$

3) $(-ad+be+cf)\cdot (ad-be+cf)\cdot (ad+be-cf)\geq 72V^{2};$

4) $a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot f\geq 72V^{2}.$

Demonstrație

1) Fie X centrul sferei. Dacă se presupune $R=1$ atunci vectorii ${\overrightarrow {XO}},{\overrightarrow {XA}},{\overrightarrow {XB}},{\overrightarrow {XC}}$ sunt vectori unitari:

S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}=\sum ({\overrightarrow {XO}}-{\overrightarrow {XA}})^{2}+\sum ({\overrightarrow {XA}}-{\overrightarrow {XB}})^{2}=

=12-2{\overrightarrow {XC}}({\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XO}})-2({\overrightarrow {XO}}\cdot {\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XB}}\cdot {\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XA}}\cdot {\overrightarrow {XO}}).

Presupunând că punctele $A,B,O$ sunt fixate și C variabil cu $\|{\overrightarrow {XC}}\|=1,$ S este maximă când $-{\overrightarrow {XC}}({\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XO}})$ este maxim ceea ce se obține în cazul:

{\overrightarrow {XC}}=-t({\overrightarrow {XO}}+{\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XB}}),\;\;t>0.

Atunci:

1=\|{\overrightarrow {XC}}\|^{2}=t^{2}\cdot [3+2({\overrightarrow {XO}}\cdot {\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XA}}\cdot {\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XO}}\cdot {\overrightarrow {XB}})];

-{\overrightarrow {XC}}({\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XO}})={\frac {1}{t}}{\overrightarrow {XC}}\cdot {\overrightarrow {XC}}={\frac {1}{t}};

2({\overrightarrow {XO}}\cdot {\overrightarrow {XA}}+{\overrightarrow {XA}}\cdot {\overrightarrow {XB}}+{\overrightarrow {XO}}\cdot {\overrightarrow {XB}})={\frac {1}{t^{2}}}-3,

de unde rezultă:

S={\frac {12}{t}}+{\frac {2}{t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+3=15+{\frac {2t-1}{t^{2}}}.

Dar $\max S$ se atinge pentru $t=1,$ deci $S\leq 16.$

Utilizare în diagrame cuaternare

Un tetraedru cu laturi egale permite datorită egalității laturilor construirea diagramelor de fază cuaternare în care se pot reprezenta patru mărimi cu suma constantă.

Poliedre înrudite

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca o piramidă triunghiulară.

Piramide regulate
Digonală	Triunghiulară	Pătrată	Pentagonală	Hexagonală	Heptagonală	Octogonală	Eneagonală	Decagonală...
Improprie	Regulată	Echilaterale		Isoscele

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, o antiprismă uniformă, în care poligoanele de bază sunt digoane reduse.

Familia antiprismelor n-gonale uniforme v • d • m
Imagine poliedru												...	Antiprismă apeirogonală
Imagine pavare sferică												Imagine pavare plană
Configurația vârfului n.3.3.3	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Un tetraedru regulat poate fi văzut ca un poliedru degenerat, un trapezoedru dublu uniform, care conține 6 vârfuri, în două seturi de laturi coliniare.

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru	Trapezoedru digonal (tetraedru)	Trapezoedru trigonal	Trapezoedru tetragonal	Trapezoedru pentagonal	Trapezoedru hexagonal	Trapezoedru heptagonal	Trapezoedru octogonal	Trapezoedru decagonal	Trapezoedru dodecagonal	...	Trapezoedru apeirogonal
Imagine										...
Pavare sferică										Pavare plană
Configurația feței	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Un proces de trunchiere aplicat tetraedrului produce o serie de poliedre uniforme. Trunchierea muchiilor până la puncte produce octaedrul ca un tetraedru rectificat. Procesul se finalizează ca o birectificare, reducând fețele originale la puncte și producând din nou tetraedrul. autodual.

Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Un poliedru interesant poate fi construit din cinci tetraedre care se intersectează. Acest compus din cinci tetraedre este cunoscut de sute de ani. Apare în mod regulat în lumea origami. Unirea celor douăzeci de vârfuri ar forma un dodecaedru regulat. Există atât forme „pe stânga”, cât și „pe drepta”, care sunt imagini în oglindă una a celeilalte. Suprapunerea ambelor forme dă un compus de zece tetraedre, în care cele zece tetraedre sunt aranjate ca cinci perechi de octaedre stelate (stella octangula). O stella octangula este un compus din două tetraedre în poziție duală, iar cele opt vârfuri ale sale definesc un cub ca anvelopă convexă.

Hosoedrul pătrat sete alt poliedru cu patru fețe, care însă nu sunt triunghiulare.

Tetraedrul și poliedrul Szilassi sunt singurele două poliedre cunoscute în care fiecare față are câte o latură în comun cu fiecare din celelalte fețe.

Pavare sferică

Tetraedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe un plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este o conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.