Um triângulo Em trigonometria , a lei das tangentes [ 1] triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète .[ 2]
Sejam a , b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que
a
−
b
a
+
b
=
tan
[
1
2
(
α
−
β
)
]
tan
[
1
2
(
α
+
β
)
]
.
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{a+b}}={\dfrac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]}}.}
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo
A
B
C
,
{\displaystyle ABC\,\!,}
a
+
b
a
−
b
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
B
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
B
^
)
]
,
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}
a
+
c
a
−
c
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
C
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
C
^
)
]
,
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}
b
+
c
b
−
c
=
tan
[
1
2
(
B
^
+
C
^
)
]
tan
[
1
2
(
B
^
−
C
^
)
]
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
a
s
e
n
A
^
=
b
s
e
n
B
^
{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
⇒
a
b
=
s
e
n
A
^
s
e
n
B
^
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
a
+
b
a
−
b
=
s
e
n
A
^
+
s
e
n
B
^
s
e
n
A
^
−
s
e
n
B
^
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
a
+
b
a
−
b
=
2
s
e
n
A
^
+
B
^
2
⋅
cos
A
^
−
B
^
2
2
s
e
n
A
^
−
B
^
2
⋅
cos
A
^
+
B
^
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}}
⇒
a
+
b
a
−
b
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
B
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
B
^
)
]
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
