Equassion dël calor

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ch'as consìdera n'ansem duvert $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{N}$ , ëd frontera Γ. Ch'as buta

Q=\Omega \times \mathbb {R} ^{+},\Sigma =\Gamma \times \mathbb {R} ^{+}

;

donca Σ a l'é la frontera lateral dël cilìnder Q.
Ch'as consìdera ël problema ëd determiné na fonsion $u:{\bar {\Omega }}\times \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R}$ tal che:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\Delta u=0$ su Q (equassion dël calor)
u=0 su Σ (condission ai lìmit ëd Dirichlet)
$u(x,0)=u_{0}(x)$ su Ω (condission inissial)

anté che $\Delta =\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$ a l'é ël laplacian rëspet a le variàbij spassiaj, t a l'é la variàbil temporal e $u_{0}$ a l'é na fonsion assignà.

L'equassion a l'é dita equassion dël calor, dagià ch'a modela la distribussion ëd la temperadura u ant ël domini Ω al moment t. L'equassion dël calor e soe variante a antërven-o an vàire fenòmeno ëd difusion. A l'é n'esempi sempi d'equassion parabòlica.

La condission ai lìmit a peul esse rampiassà da la condission ëd Neumann

2'.

{\frac {\partial u}{\partial n}}=0

su Σ,

anté che n a l'é ël versor unitari dla normal esterior a Γ. Antant che la condission 2 a esprim ël fàit ch'as goerna ël bòrd Γ d'Ω a temperadura nula, la condission 2' a smon che ël fluss ëd calor a travers Γ a l'é nul.