Przejdź do zawartości

Sieczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Sieczna przecina krzywą w punktach

Siecznaprosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach[1]. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

[edytuj | edytuj kod]

Dla danego punktu i okręgu dla każdej siecznej przechodzącej przez i przecinającej w punktach i wartość wyrażenia jest ta sama[2]. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych[2].

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Dla na zewnątrz okręgu

[edytuj | edytuj kod]

Poprowadźmy z punktu styczną i sieczną okręgu Punkt styczności nazwijmy a punkty przecięcia z sieczną i gdzie Kąt jest kątem wpisanym opartym na cięciwie więc przystaje do kąta dopisanego Trójkąty i mają wspólny kąt a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

Po wymnożeniu obustronnie przez otrzymujemy

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej a jest stałe, to też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla wewnątrz okręgu

[edytuj | edytuj kod]

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

co było do udowodnienia.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. sieczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04].
  2. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jacek Człapiński, Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-19].