Norma macierzowa

Norma macierzowa – naturalny odpowiednik normy wektorowej dla macierzy.

Definicje formalne

Niech $\mathrm {Mat} _{n}(K)$ oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na $\mathrm {Mat} _{n}(K)$ spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,

\|\mathbf {AB} \|\leqslant \|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|,

dla dowolnych macierzy $\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \mathrm {Mat} _{n}(K).$ Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem

|\mathbf {A} |={\big [}|a_{ij}|{\big ]},

gdzie $|a_{ij}|$ oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.

Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie

\|\mathbf {A} \|\geqslant 0

oraz

||\mathbf {A} ||=0

wtedy i tylko wtedy, gdy

\mathbf {A} ={\boldsymbol {\Theta }}.

Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki

$|a_{ij}|\leqslant \|\mathbf {A} \|,$ przy czym dla $\mathbf {A} =[a_{11}]$ jest $\|\mathbf {A} \|=|a_{11}|,$
$|\mathbf {A} |\leqslant |\mathbf {B} |$ pociąga $\|\mathbf {A} \|\leqslant \|\mathbf {B} \|,$ w szczególności $\|\mathbf {A} \|={\big \|}|\mathbf {A} |{\big \|}.$

Normy indukowane

Jeżeli dane są normy $\|\cdot \|_{m},\|\cdot \|_{n}$ odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych $K^{m}$ oraz $K^{n},$ gdzie $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \},$ to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu $m\times n$ definiuje się jednym z równoważnych wzorów

{\begin{aligned}\|\mathbf {A} \|&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}\leqslant 1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}=1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }\left\{{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{m}}{\|\mathbf {x} \|_{n}}}\colon \mathbf {x} \in K^{n}\right\}.\end{aligned}}

Jeżeli $m=n$ i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).

Przykłady

Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca $p$ -normie wektorowej to

\|\mathbf {A} \|_{p}=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{p}}{\|\mathbf {x} \|_{p}}}.

W szczególności normy

\|\mathbf {A} \|_{1}=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|,

\|\mathbf {A} \|_{\infty }=\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|

są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.

Norma spektralna i promień spektralny

Normę

\|\mathbf {A} \|_{\operatorname {sp} }={\sqrt {\max {\big \{}|\lambda |\colon \lambda \in \operatorname {sp} (\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {A} ){\big \}}}},

gdzie

A^{\star }

oznacza macierz hermitowską (transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)

gdzie $\operatorname {sp} (\mathbf {A} )$ jest widmem (spektrum) macierzy $\mathbf {A} ,$ nazywa się normą spektralną.

Dla dowolnej normy indukowanej $\|\cdot \|$ zachodzi oszacowanie

\|\mathbf {A} \|\geqslant \varrho (\mathbf {A} ),

gdzie $\varrho (\mathbf {A} )$ jest promieniem spektralnym $\mathbf {A} ;$

co więcej,

\lim _{r\to \infty }~{\sqrt[{r}]{\|\mathbf {A} ^{r}\|}}=\varrho (\mathbf {A} ).

Normy „po współrzędnych”

W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu $m\times n$ do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.

Przykładowo korzystając z $p$ -normy wektorowej dostaje się

\|\mathbf {A} \|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.

Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych $p$ -norm indukowanych (zob. wyżej) oraz $p$ -norm Schattena (zob. niżej).

Szczególnymi przypadkami dla $p=2$ jest norma Frobeniusa, a dla $p=\infty$ norma maksimum.

Norma Frobeniusa

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest według wzoru

\|\mathbf {A} \|_{F}={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle }}={\sqrt {\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {A} )}}={\sqrt {\sum |a_{ij}|^{2}}},

gdzie $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$ jest śladem macierzy $\mathbf {A} ,$ a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach $i,j,$ a $\mathbf {A} ^{\star }={\overline {\mathbf {A} }}^{\operatorname {T} }$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).