Operator samosprzężony

Operator samosprzężony (hermitowski) – odwzorowanie liniowe $A$ działające na skończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni wektorowej $V,$ takie że

$\langle Av|w\rangle =\langle v|Aw\rangle ,$

gdzie:

$\langle \cdot |\cdot \rangle$ – iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni $V$

$|Aw\rangle \equiv A|w\rangle$ – wektor powstały w wyniku działania operatora $A$ na wektor $|w\rangle$

$\langle Av|\equiv (A|v\rangle )^{\dagger }$ – sprzężenie hermitowskie wektora $A|v\rangle$

Operatory samosprzężone używane są w analizie funkcjonalnej.

W mechanice kwantowej operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone – nazywa się je obserwablami. Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.

Operator samosprzężony skończenie wymiarowy można reprezentować za pomocą macierzy hermitowskiej (samosprzężonej).

Macierz operatora hermitowskiego

Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową i ma bazę ortogonalną, to macierz operatora $A$ jest macierzą hermitowską (tj. równą swojemu sprzężeniu hermitowskiemu).

Dowód: Niech $A$ oznacza teraz macierz. Obliczanie sprzężenia hermitowskiego wektora $A|v\rangle$ oznacza obliczanie tego sprzężenia dla iloczynu macierzy i wektora. Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności

$(A|v\rangle )^{\dagger }=\langle v|A^{\dagger }$

to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości $|Aw\rangle =A|w\rangle$ oraz $\langle Av|=\langle v|A^{\dagger }$ otrzyma się

$\langle v|A^{\dagger }|w\rangle =\langle v|A|w\rangle$

co implikuje

$A^{\dagger }=A$

czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)

Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni $V$ bazę ortonormalną, taka że macierz operatora $A$ wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.

Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej

Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu $|\psi \rangle$ układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).

1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona) ${\hat {H}}.$ Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U$

Wartości własne tego operatora przedstawiają energie całkowite (tj. sumy energii kinetycznej i potencjalnej), jakie może posiadać cząstka o masie $m$ oddziałująca z polem potencjalnym $U.$ Przykładem jest np. elektron w atomie wodoru. Rozwiązanie zagadnienia własnego prowadzi do wyznaczenia poziomów energetycznych elektronu w atomie.

2. Macierze Pauliego występują w zapisie operatorów pomiaru spinu cząstek układu kwantowego, np.

$A\equiv \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&&-i\\i&&0\end{matrix}}\right]$

– macierze te są samosprzężone.

Operatory przestrzeni nieskończenie wymiarowej

Operatory samosprzężone zdefiniowane na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają strukturę podobną do operatorów przestrzeni skończenie wymiarowych. Tzn. operatorem samosprzężonym jest taki i tylko taki operator, że jest on unitarnie równoważny operatorowi mnożenia o wartościach rzeczywistych. Pojęcie to może być z małymi modyfikacjami rozszerzone na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe.

Zobacz też

• operator (fizyka)
• operator sprzężony

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.
• Wprowadzenie do operatorów linowych https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Wprowadzenie_do_teorii_operatorów_liniowych