Gra w postaci normalnej

Gra w postaci normalnej – typ gry w której gracze jednocześnie i niezależne od siebie decydują o swoich strategiach nie znając decyzji przeciwników. Do opisania takiej gry potrzebna jest znajomość możliwych akcji graczy (zwanych także zagraniami, strategiami czystymi), oraz wysokości wypłat przy zastosowaniu przez graczy danych akcji.

Oznaczenia:

$N=\{1,2,\dots ,n\}$ – zbiór graczy,

$A_{i}$ – zbiór możliwych zagrań gracza $i$-tego, $i\in N,$

$A=\prod \limits _{i=1}^{n}A_{i},$

$u_{i}\colon A\to \mathbb {R}$ – funkcja wypłat $i$-tego gracza.

Elementy zbioru A to tzw. profile strategii czystych. Mamy $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in A,$ gdzie $a_{i}$ oznacza pewną strategię czystą $i$-tego gracza. Gdy dla każdego $i\in N,$ $|A_{i}|<\infty ,$ to mówimy, że gra jest skończona.

Definicja

Grą w postaci normalnej nazywamy trójkę $<N,A,(u_{i})_{i\in N}>.$

Zauważmy, że przy tej definicji nie podajemy ile możliwych zagrań ma każdy z graczy. Może to być nieskończenie (nawet nieprzeliczalnie) wiele akcji.

Strategia mieszana

Strategią mieszaną $i$-tego gracza nazywamy dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze $A_{i}.$

Oznaczmy przez $x_{i}(a_{j})$ prawdopodobieństwo zagrania przez $i$-tego gracza strategii czystej $a_{j}.$

Przypadek gry skończonej

Gdy gra jest skończona to strategia mieszana tworzy wektor w $\mathbb {R} ^{|A_{i}|}.$ Kolejne współrzędne tego wektora to prawdopodobieństwa wyboru kolejnych zagrań. Strategia czysta to szczególny przypadek strategii mieszanej. Załóżmy, że zbiór $A_{i}$ jest ponumerowany od 1 do k. Wtedy $j$-ta strategia czysta ($j$-te zagrane) to wersor $1_{j}^{i}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ (1 na $j$-tym miejscu). W dalszej części artykułu będziemy stosować to oznaczene. Jest to rozkład na $A_{i},$ który z prawdopodobieństwem 1 przypisuje $j$-te zagranie.

Zauważmy, że w grach skończonych każdą strategię mieszaną, można przedstawić w postaci kombinacji wypukłej strategii czystych. Weźmy dowolnego gracza i, zbiór jego strategii czystych (zagrań) $A_{i}=\{1_{1}^{i},\dots ,1_{k}^{i}\}$ oraz pewną strategię mieszaną tego gracza: $x_{i}.$ Wtedy $x_{i}=\sum _{j=1}^{k}x_{i}(1_{j}^{i})1_{j}^{i}.$

Profil gry

Jeśli przez $x_{i}$ oznaczymy strategię mieszaną $i$-tego gracza, to analogicznie jak dla strategii czystych określiliśmy profil strategii czystych, określamy profil gry jako

$x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \prod \limits _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{|A_{i}|}.$

Dla ustalonego profilu przypisujemy $x(a)$ – prawdopodobieństwo zagrania przez graczy strategii czystej $a=(a_{1},\dots ,a_{n}).$ Wybory graczy są niezależne zatem $x(a)=x_{1}(a_{1})\dots x_{n}(a_{n}).$ A więc gracz $i$-ty otrzyma wypłatę $u_{i}(a)$ z prawdopodobieństwem $x(a).$ Zatem wypłata $i$-tego gracza jest zmienną losową, która przyjmuje wartość $u_{i}(a)$ z prawdopodobieństwem $x(a).$

Wypłata przy danym profilu gry

Wypłatą przy danym profilu gry gracza $i$-tego nazywamy wartość oczekiwaną wyżej określonej zmiennej losowej. Poniżej znajdują się pewne tożsamości związane z tą wartością oczekiwaną. Oznaczmy: $(a_{i},a_{-i})=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n}),$ $A_{-i}=\prod \limits _{j\neq i}A_{j}$ oraz $x_{-i}(a_{-i})=\prod \limits _{j\neq i}x_{j}(a_{j}).$

Wypłata jest linowa względem składowych dowolnego profilu:

${\begin{aligned}u_{i}(x)&=u_{i}(x_{1},\dots ,\sum _{k=1}^{|A_{j}|}x_{j}(1_{k}^{j})1_{k}^{j},\dots ,x_{m})\\&=\sum _{a\in A}u_{i}(a)x(a)\\&=\sum _{a_{j}\in A_{j}}\sum _{a_{-j}\in A_{-j}}u_{i}(a_{j},a_{-j})x(a_{j},a_{-j})\\&=\sum _{a_{j}\in A_{j}}x_{j}(a_{j})\sum _{a_{-j}\in A_{-j}}u_{i}(a_{j},a_{-j})x_{-j}(a_{-j})\\&=\sum _{a_{j}\in A_{j}}x_{j}(a_{j})u_{i}(x_{1},\dots ,a_{j},\dots ,x_{n})\\&=\sum _{k=1}^{|A_{j}|}x_{j}(1_{k}^{j})u_{i}(x_{1},\dots ,1_{k}^{j},\dots ,x_{n}),\end{aligned}}$

dla $j\in N.$

Gry symetryczne

Grę nazywamy symetryczną jeśli dla dowolnych $i,j\in N$ i dowolnego profilu strategii czystych $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ zachodzi:

$u_{i}(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n})=u_{j}(a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n}).$

Warunek ten można łatwo zinterpretować. Mianowicie wypłata gracza $i$-tego przy danym profilu ma być równa wypłacie gracza $j$-tego gdy obaj zamienią się swoimi strategiami czystymi.

Gry skończone

Gdy gra jest dwuosobowa, możemy funkcję wypłat przedstawić w postaci macierzy wypłat.

Gry symetryczne

W przypadku gry dwuosobowej warunek symetryczności gry oznacza, że macierz wypłat dla każdego z graczy jest równa transponowanej macierzy wypłat przeciwnika. Rzeczywiście:

$w_{i,j}^{1}=u_{1}(1_{i},1_{j})=u_{2}(1_{j},1_{i})=w_{j,i}^{2}.$