Wprowadzenie do elektroniki/Podstawowe elementy elektroniczne/Rezystory

Rezystory (oporniki)

Rezystory są biernymi elementami elektronicznymi, których podstawowym parametrem jest rezystancja nazywana też oporem elektrycznym, stąd też inna nazywa - opornik.

Rezystancja jest parametrem całkowicie niezależnym od częstotliwości napięcia.

Według "starej szkoły" rezystory oznaczano symbolem "łamanej" gałęzi obwodu symbolizującej (na rysunku na górze) m.in. nadmiar w miejscu ścieżki przewodzącej (a tym samym wzrost rezystancji w tej części obwodu). Obecnie do przedstawienia idealnych rezystorów w schematach zastępczych używa się symbolu (rysunek na dole) zupełnie jak w przypadku idealnego elementu jednowrotowego opisanego impedancją. Dzieje się tak ze względu na to, iż rezystor jest najbardziej elementarnym elementem elektronicznym i definicja impedancji idealnego jednowrotnika opartego na rezystorze sprowadza się do definicji rezystancji tegoż opornika, co poruszone zostanie na końcu rozdziału w temacie "Impedancja".

Rezystancja zastępcza

Zgodnie z uogólnionym prawem Ohma rezystancja dana jest zależnością:

$R={\frac {U}{I}}$ .

Jeśli zostanie zmierzone napięcie i prąd wpływające do jakiegoś układu rezystancyjnego, tzw. czarnej skrzynki, to z prawa Ohma można zastąpić ją jednym rezystorem. Budowa wewnętrzna takiej czarnej skrzynki zupełnie nie powinna odgrywać roli, może zawierać dowolną liczbę rezystorów, dowolnie ze sobą połączonych - zastąpienie ich jednym rezystorem jest zawsze możliwe.

Połączenie szeregowe rezystorów

Rezystancja zastępcza $R_{zas}$ rezystorów połączonych szeregowo w danej gałęzi obwodu jest równa sumie ich rezystancji

R_{1}+R_{2}+\ldots +R_{n}=R_{zas}

.

Przy szeregowym połączeniu rezystorów w całej gałęzi, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, popłynie ten sam prąd - inaczej mówiąc przez każdy z połączonych szeregowo rezystorów będzie płynąć jednakowy dla każdego prąd $I$ . Natomiast zgodnie z prawem Ohma napięcie na każdym z rezystorów dane jest wzorem $U_{i}=R_{i}\cdot I$ , gdzie i oznacza kolejny element. Jeśli cały obwód zasilany jest napięciem $U$ , to zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma napięć w oczku jest równa zero:

\sum U_{i}-U=0

Po przekształceniu otrzymujemy:

\sum U_{i}=U

Teraz rozwijając sumę mamy:

R_{1}\cdot I+R_{2}\cdot I+\ldots +R_{n}\cdot I=U

(R_{1}+R_{2}+\ldots +R_{n})\cdot I=U

Dzieląc obustronnie przez prąd otrzymujemy

R_{1}+R_{2}+\ldots +R_{n}={\frac {U}{I}}

R_{1}+R_{2}+\ldots +R_{n}=R_{zas}

Połączenie równoległe rezystorów

Rezystancja zastępcza $R_{zas}$ równoległego połączenia rezystorów jest równa:

R_{zas}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{R_{n}}}}}

.

Dla dwóch rezystorów ten wzór ma postać:

R_{zas}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}

.

Często w obliczeniach symbolicznych dla wygody pisze się np. $R_{1}||R_{2}$ - dwie pionowe kreski oznaczają, że rezystory są połączone równolegle.

Przy równoległym połączeniu rezystorów napięcie na nich jest jednakowe, równe $U$ . Prąd płynący przez każdy z rezystorów zależy od ich rezystancji zgodnie z prawem Ohma: $I_{i}={\frac {U}{R_{i}}}$ . Zgodnie z I prawem Kirchhoffa suma prądów wypływających z "górnego" węzła jest równa wpływającemu, co wyraża zależność

I=\sum I_{i}

Rozwijając sumę otrzymujemy:

I=I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}

I={\frac {U}{R_{1}}}+{\frac {U}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {U}{R_{n}}}

I=U\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{R_{n}}}\right)

Dzieląc obustronnie przez napięcie:

{\frac {I}{U}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{R_{n}}}

{\frac {1}{R_{zas}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{R_{n}}}

R_{zas}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{R_{1}}}}}

.

Rezystory w praktyce

Oporniki najczęściej spotkać możemy w postaci elementów dyskretnych, sprzedawanych pojedynczo lub w postaci papierowo połączonych "tasiemek". Oporniki przybierają kształt małej puszeczki przypominającej w przekroju schemat zastępczy rezystora, z której odchodzą dwa wyprowadzenia przewodowe umożliwiające włączenie ich do układu.

Dostępne są na rynku oporniki o różnej rezystancji. Ze względu na często ich niewielkie rozmiary oraz cylindryczne wykonanie utrudniające proces opisywania, w celu uniknięcia pomyłek wykonawczych przyjęto ogólny standard opisywania rezystorów. Oznaczanie ich odbywa się z pomocą systemu kodowania barwnego przedstawionego w poniższej tabeli. Kody odczytuje się zazwyczaj od najbardziej skrajnie położonych pasków - najczęściej dwa pierwsze paski określają rezystancję, trzeci mnożnik i następne tolerancję i czasami spotykany współczynnik temperaturowy rezystancji. Dodatkowe informacje umieszczono pod tabelą.

Tabela barwnych kodów paskowych rezystorów
Kolor	Wartość		Mnożnik	Tolerancja ± %	Wsp. temp. rezystancji ± ppm/K
Kolor	1 pasek	2 pasek	3 pasek	4 pasek	Ostatni pasek
czarny	0	0	x 1 Ω	20	200
brązowy	1	1	x 10 Ω	1	100
czerwony	2	2	x 100 Ω	2	50
pomarańczowy	3	3	x 1 k	3	15
żółty	4	4	x 10 k	0 - +100	25
zielony	5	5	x 100 k	0,5
niebieski	6	6	x 1 M	0,25	10
fioletowy	7	7	x 10 M	0,1	5
szary	8	8		0,05	1
biały	9	9
złoty			0,1 Ω	5
srebrny			0,01 Ω	10
brak				20

Uwagi:

pasków (czasem kropek) jest zazwyczaj: trzy, cztery lub sześć
- jeśli są 3 paski - wtenczas wszystkie trzy oznaczają oporność, a tolerancja wynosi ±20%
- jeśli są 4 paski - wtenczas trzy pierwsze oznaczają oporność, a czwarty – tolerancję
- jeśli jest ich sześć, to oznacza że mamy do czynienia z opornikiem precyzyjnym i trzy pierwsze oznaczają cyfry oporności, czwarty – mnożnik, piąty – tolerancję, szósty – temperaturowy współczynnik rezystancji (ten pasek może znajdować się na samym brzegu opornika)
pierwszą cyfrę oznacza pasek bliższy końca, a między mnożnikiem i tolerancją jest czasem większy odstęp
oporniki wyższych klas dokładności posiadają dodatkowy trzeci pasek cyfr, w którym oznaczenia przyjęte są jak dla paska pierwszego i drugiego
spotkać można również stare oporniki z nie do końca standardowym oznakowaniem:
- 1 cyfra określona jest przez kolor opornika
- 2 cyfra określona jest przez kolor paska
- mnożnik określony jest przez kolor kropki

Ćwiczenie

Wiadomo, że układ jak na rysunku, jest zasilany napięciem $U$ $U$ , znamy także rezystancje wszystkich trzech rezystorów. Chcemy poznać jaki prąd pobiera ten układ ( $I=?$ $I=?$ ), oraz jakie prądy płyną przez poszczególne rezystory ( $I_{1}=?$ $I_{1}=?$ , $I_{2}=?$ $I_{2}=?$ , $I_{3}=?$ $I_{3}=?$ ) i jakie na nich panują napięcia ( $U_{1}=?$ $U_{1}=?$ , $U_{2}=?$ $U_{2}=?$ , $U_{3}=?$ $U_{3}=?$ ).
Z prawa Ohma wynikają następujące zależności:
1. $U_{1}=R_{1}I_{1}$
2. $U_{2}=R_{2}I_{2}$
3. $U_{3}=R_{3}I_{3}$
Z I prawa Kirchhoffa wynika, że:
1. $I_{3}-I_{1}-I_{2}=0$ (1)
Natomiast z II prawa Kirchhoffa wynika, iż:
1. $U_{1}+U_{3}-U=0$ (2)
2. $U_{2}+U_{3}-U=0$ (3)
Widać, że $I=I_{3}$ , natomiast z faktu, że rezystory $R_{1}$ i $R_{2}$ są połączone równolegle, wynika równość napięć $U_{1}=U_{2}$ .
Rozwiązanie zadania zaczniemy od wyznaczeniu rezystancji zastępczej. Rezystor $R_{3}$ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem $R_{1}$ i $R_{2}$ , co wyraża równanie

$R_{zas}=R_{3}+R_{12}=R_{3}+{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$ .

Prąd płynący przez obwód (i przez $R_{3}$ ) jest równy:

$I=I_{3}={\frac {U}{R_{zas}}}$

Teraz możemy wyznaczyć napięcie na $R_{3}$ $U_{3}=R_{3}I_{3}$ .
Mając $U_{3}$ wyznaczamy z równań (2) i (3) napięcia $U_{1}=U_{2}=U-U_{3}$ .
Ostatecznie prądy $I_{1}$ i $I_{2}$ można wyznaczyć albo bezpośrednio z prawa Ohma, albo wyznaczyć jeden z nich, a drugi obliczyć korzystając z I prawa Kirchhoffa (równanie 1).
Rezystor R1 i R2
Rezystor R3
Wiedząc że rezystory z poprzedniego zadania są sobie równe w następujący sposób: $R_{1}=R_{2}$ oraz $R_{3}=R_{4}$ oblicz rezystancję obwodu, jeśli wiesz że oporniki wyglądają jak na rysunkach przedstawionych obok.
Dla rezystorów $R_{1}$ oraz $R_{2}$ odczytuję wartość na podstawie kodu kreskowego:

Pasek 1 Pasek 2 Pasek 3 Pasek 4 Pasek 5

brązowy czarny żółty złoty -

1 0 x 10 kΩ ± 5 % -

Stąd też odczytuję wartość rezystancji: $R_{3}=10\cdot 10000\Omega \pm 5\%=100k\Omega \pm 5\%$ .
Dla rezystora $R_{3}$ odczytuję wartości analogicznie:

Pasek 1 Pasek 2 Pasek 3 Pasek 4 Pasek 5

niebieski zielony czarny złoty czerwony

6 5 x 1 Ω ± 5 % 5 ppm/°C

Stąd też odczytuję wartość: $R_{1}=65\Omega \pm 5\%$ z temperaturowym współczynnikiem rezystancji 5 ppm/°C
W poprzednim zadaniu zadania wyznaczyliśmy wzór na opór zastępczy tego dwuzaciskowego układu:

$R_{zas}=R_{3}+R_{12}=R_{3}+{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Korzystając z warunku na równość dwóch oporników możemy napisać iż:

$R_{zas}=R_{3}+{\frac {{R_{1}}^{2}}{2R_{1}}}=R_{3}+{\frac {R_{1}}{2}}$

Podstawiając do wzoru wyznaczam rezystancję zastępczą:

$R_{zas}=R_{3}+{\frac {R_{1}}{2}}=100000+{\frac {65}{2}}=100032,5\Omega$ .