Lagrange-multiplikator

Bruk av Lagrange-multiplikator kjennetegner en metode for bestemmelse av ekstremalverdier av en funksjon med flere variabler når disse må oppfylle en eller flere bibetingelser. Den er oppkalt etter den franske matematiker Joseph Louis Lagrange som utviklet den i forbindelse med sine første arbeider innen variasjonsregningen.

Ekstremalisering med bibetingelser

For at en kontinuerlig funksjon

$f=f(x,y)$

av to variable x og y skal ha en maksimal eller minimal verdi, må

$df=f_{x}dx+f_{y}dy$

være null i ekstremalpunktet.

Men noen ganger kan det eksistere et krav om at de to variable må oppfylle en bibetingelse.

Den kan man alltid skrive på formen

$g(x,y)=c$

hvor c er en konstant.

Nå er differensialet av denne funksjonen

$dg=g_{x}dx+g_{y}dy=0$

slik at dx og dy ikke lenger er uavhengige av hverandre.

Forholdet mellom dem er gitt som dy/dx = - g_x/g_y. Men fra kravet at df = 0 finner man på samme måte at dy/dx = - f_x/f_y slik at de deriverte må oppfylle relasjonen g_x/g_y = f_x/f_y i ekstremalpunktet. Det kan man få til ved at f_x = - λg_x og f_y = - λg_y hvor λ er vilkårlig. Men hvis nå λ er konstant, ser man at disse to kravene blir begge oppfylt ved å bestemme ekstremalverdien av funksjonen

$f^{*}(x,y)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

hvor nå x og y varierer fritt. Det gir nemlig betingelsene ∂ f^*/∂ x = ∂ f/∂ x + λ∂ g/∂ x = 0 og tilsvarende for den deriverte med hensyn på y. Denne konstanten λ er en Lagrange-multiplikator.

Skal man bestemme ekstremalverdiene for en funksjon f(x,y,...) av mer enn to variable, kan man gå frem på samme måte. Man kan da også ha flere bibetingelser g_i(x,y,...) = c_i som kan tas hensyn til ved å innføre en Lagrange-multiplikator λ_i for hver av dem. Problemet løses i dette tilfellet ved å finne minima eller maksima av funksjonen

$f^{*}(x,y,...)=f(x,y,...)+\sum _{i}\lambda _{i}g_{i}(x,y,...)$

hvor de variable nå kan betraktes som uavhengige av hverandre.

Eksempel

Sidene i det innskrevne rektangelet skal beregnes slik at det har størst mulig areal.

Et rektangel skal innskrives i en ellipse med akser a og b, det vil si beskrevet ved ligningen

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$

Man skal nå bestemme sidene i rektangelet når dets areal A er størst mulig. Ut fra symmetrigrunner må disse være parallelle med aksen til ellipsen slik at A = 4xy. Denne funksjonen av x og y skal maksimaliseres samtidig ved at ligningen til ellipsen er oppfylt. Man må da finne maksimum av den modifiserte funksjonen

$A^{*}=4xy+\lambda {\Big (}{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}{\Big )}$

Ekstremalpunktet er dermed gitt ved ligningene ∂ A^*/∂ x = 4y + 2λx/a² = 0 og ∂ A^*/∂ y = 4x + 2λy/b² = 0. Multipliseres den første med x, den andre med y og legger man så sammen de to resulterende ligningene, finner man at 8xy + 2λ = 0. Derfor må man ha at λ = - 4xy. Innsetter man nå dette resultatet i f.eks. den første ligningen, tar den formen

$4y-8y{\Big (}{x^{2} \over a^{2}}{\Big )}=0$

Her er y = 0 en løsning, men den gir en minimalverdi for arealet, nemlig A = 0. Den andre løsningen x = a/√2 som medfører at y = b/√2, gir derimot verdien A = 2ab som er den søkte maksimalverdien.

Geometrisk utledning

Den røde linjen viser bibetingelsen g(x,y) = c, mens de blå, strekete linjene viser kotene til funksjonen f(x,y). Hvor den røde kurven berører den blå på koten f = d₁, ligger et ekstremalpunkt. I figuren er d₁ > d₂ slik at dette er derfor et maksimalpunkt for funksjonen f(x,y).

Bibetingelsen g(x,y) = c definerer en kurve i (x,y) - planet som vist i figuren. Den vil vanligvis skjære gjennom koter for funksjonen f(x,y). I figuren er disse lukkede kurver hvor funksjonen antar en konstant verdi. At den skjærer gjennom en kote i et punkt, betyr at der forandrer funksjonen seg slik at den ikke kan ha noe ekstremalpunkt der.

Men hvis det finnes et punkt hvor kurven g(x,y) = c tangerer en kote, vil dette punktet være et ekstremalpunkt. Tangenten til kurven vil her være parallell med tangenten til koten. Nå er gradienten ∇g til kurven en vektor som står vinkelrett på dens tangent i hvert punkt. På samme måte står gradienten ∇f vinkelrett på kotene til funksjonen f(x,y) som vist med pilene i figuren. I et ekstremalpunkt vil derfor normalene til de to kurvene være parallelle, det vil si at vi har en relasjon ∇f = -λ ∇g. Hvis nå λ er en konstant, vil derfor betingelsen for et ekstremalpunkt være

${\boldsymbol {\nabla }}(f+\lambda g)=0$

Komponentene av denne ene vektorligningen gir det samme resultatet som fra de enkelte ligningene funnet tidligere. Om dette er et maksimal- eller minimalpunkt, kan finnes ved å beregne de andrederiverte av funksjonen eller ved direkte utregning av funksjonsverdier.

Litteratur

• J. E. Mathews and R. L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, Inc., New York (1964).
• L. E. Elsgolc, Calculus of Variations, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1961).

Eksterne lenker

• MathWorld: Lagrange Multiplier