Rumus kuadratik

Roots of a quadratic function — Fungsi kuadratik dengan punca x = 1 dan x = 4.

Dalam algebra asas, rumus kuadratik ialah rumus yang memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Terdapat kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan bukannya menggunakan rumus kuadratik, seperti pemfaktoran (pemfaktoran langsung, pengelompokan, kaedah AC), melengkapkan kuasa dua, grafik dan lain-lain.^[1]

Diberi persamaan kuadratik umum bentuk

ax^{2}+bx+c=0

dengan $x$ mewakili yang tidak diketahui, $a$ , $b$ and $c$ mewakili pemalar dengan a ≠ 0, rumus kuadratik ialah:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \

di mana simbol tambah-tolak "±" menunjukkan bahawa persamaan kuadratik mempunyai dua penyelesaian.^[2] Ditulis secara berasingan, mereka menjadi:

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Setiap dua penyelesaian ini juga disebut punca persamaan kuadratik. Secara geometri, punca ini mewakili nilai $x$ bagi mana-mana parabola, yang secara jelas diberikan sebagai $y = ax 2 + bx + c$ , melintasi paksi $x$ .^[3]

Selain sebagai rumus yang menghasilkan pensifar dari setiap parabola, rumus kuadratik juga dapat digunakan untuk mengenal pasti paksi simetri parabola,^[4] dan bilangan pensifar nyata yang terdapat dalam persamaan kuadratik.^[5]

Perkembangan sejarah

Kaedah paling awal untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah geometri. Tablet kuneiform Babylon mengandungi masalah yang dapat dikurangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.^[6] Papirus Berlin Mesir, yang berasal dari Kerajaan Tengah (2050 SM hingga 1650 SM), mengandungi penyelesaian untuk persamaan kuadratik dua istilah.^[7]

Ahli matematik Yunani Euclid (sekitar 300 SM) menggunakan kaedah geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam Buku 2 Elemen, sebuah risalah matematik yang berpengaruh. Hukum untuk persamaan kuadratik muncul dalam Bahasa Cina Sembilan Bab mengenai Seni Matematik sekitar tahun 200 SM.^[8]^[9] Dalam Arithmetica, ahli matematik Yunani Diophantus (sekitar tahun 250 M) menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah algebra yang lebih dikenali daripada algebra geometri Euclid.^[10] Penyelesaiannya hanya memberikan satu punca yang sama, walaupun kedua-dua puncanya positif.^[11]

Ahli matematik India Brahmagupta (597-668 M) secara terang-terangan menerangkan rumus kuadratik dalam risalahnya Brāhmasphuṭasiddhānta yang diterbitkan pada tahun 628 Masihi,^[12] tetapi ditulis dengan kata-kata dan bukannya simbol.^[13] Penyelesaiannya bagi persamaan kuadratik $ax 2 + bx = c$ adalah seperti berikut: "Untuk nombor mutlak dikalikan dengan empat kali ganda [pekali bagi] kuasa dua, tambahkan kuasa dua [pekali bagi] sebutan yang tengah; punca kuasakan yang sama, kurangkan [pekali bagi] sebutan yang tengah, dibahagi dua kali ganda [pekali] kuasa dua adalah nilainya. "^[14] Ini bersamaan dengan:

x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .

Ahli matematik Parsi abad ke-9 Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī menyelesaikan persamaan kuadratik secara algebra.^[15] Rumus kuadratik yang merangkumi semua kes pertama kali diperoleh oleh Simon Stevin pada tahun 1594.^[16] Pada tahun 1637 René Descartes menerbitkan La Géométrie yang mengandungi kes khas rumus kuadratik dalam bentuk yang kita kenal sekarang.^[17]

Lihat juga

Rujukan

^ "Quadratic Factorisation: The Complete Guide". Math Vault (dalam bahasa Inggeris). 2016-03-13. Dicapai pada 2019-11-10.
^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, m/s. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
^ "Understanding the quadratic formula". Khan Academy (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2019-11-10.
^ "Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry..." www.mathwarehouse.com. Dicapai pada 2019-11-10.
^ "Discriminant review". Khan Academy (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2019-11-10.
^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. m/s. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
^ Aitken, Wayne. "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF). Mathematics Department, California State University. Dicapai pada 28 April 2013.
^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. m/s. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. m/s. 134. ISBN 0-486-20429-4.
^ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
^ Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. m/s. 87. ISBN 0-387-95336-1.
^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.
^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, m/s. 470
^ Rene Descartes. The Geometry (dalam bahasa English).CS1 maint: unrecognized language (link)

[1] "Quadratic Factorisation: The Complete Guide". Math Vault (dalam bahasa Inggeris). 2016-03-13. Dicapai pada 2019-11-10.

[2] Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, m/s. 219, ISBN 978-0-470-55964-2

[3] "Understanding the quadratic formula". Khan Academy (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2019-11-10.

[4] "Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry..." www.mathwarehouse.com. Dicapai pada 2019-11-10.

[5] "Discriminant review". Khan Academy (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2019-11-10.

[6] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.

[7] The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. m/s. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.

[Aitken-8] Aitken, Wayne. "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF). Mathematics Department, California State University. Dicapai pada 28 April 2013.

[9] Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. m/s. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.

[quad-10] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.

[11] Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. m/s. 134. ISBN 0-486-20429-4.

[Bradley-12] Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).

[13] Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).

[Stillwell2004-14] Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. m/s. 87. ISBN 0-387-95336-1.

[15] Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. m/s. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.

[16] Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, m/s. 470

[17] Rene Descartes. The Geometry (dalam bahasa English).CS1 maint: unrecognized language (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]