Nombor perdana terbesar diketahui

Plot 2020 bagi bilangan digit dalam perdana terbesar yang diketahui mengikut tahun sejak kewujudan komputer elektronik. Skala menegak adalah berdasarkan logaritma.

Nombor perdana terbesar diketahui ialah 2^136,279,841 − 1, suatu nombor dengan 41,024,320 digit apabila ditulis dalam asas 10. Ia ditemui pada 12 Oktober 2024 melalui komputer sukarela oleh Luke Durant dalam projek Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).^[1]

Nombor perdana ialah nombor asli yang lebih besar daripada 1 tanpa pembahagi selain 1 dan dirinya sendiri. Menurut teorem Euclid, terdapat nombor perdana sebanyak tidak terhingga, dan dengan itu, tidak ada nombor perdana terbesar secara mutlak.

Kebanyakan nombor perdana terbesar diketahui ialah nombor perdana Mersenne, nombor yang ditolak satu daripada angka terbitan eksponen angka dua, kerana ia boleh menggunakan ujian keperdanaan khusus yang lebih pantas daripada kelaziman. Setakat Oktober 2024^{[kemas kini]}, tujuh nombor perdana terbesar yang diketahui ialah nombor perdana Mersenne.^[2] 18 rekod nombor perdana terakhir ialah nombor perdana Mersenne.^[3] Perwakilan binari mana-mana nombor perdana pula terdiri daripada hanya rentetan angka satu, kerana bentuk binari 2 ^k − 1 ialah rentetan k angka satu.^[4]

Mencari nombor perdana yang lebih besar secara umum difahami untuk membenarkan penyulitan yang lebih kuat, namun ini adalah salah.^[5]^[6]

Rekod terkini

Rekod terkini dipegang oleh 2^136,279,841 − 1 dengan 41,024,320 digit, ditemui oleh GIMPS pada 12 Oktober 2024.^[1] 120 digit pertama dan terakhir nilainya ialah:^[7]

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...
(41,024,080 digit dilangkau)
... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

Setakat Oktober 2024^{[kemas kini]}, nombor perdana terbesar sebelumnya M_82589933, dengan 24,862,048 digit, memegang rekod itu selama lebih 6 tahun, lebih lama daripada rekod-rekod lain selepas M₁₉₉₃₇ yang memegang rekod selama 7 tahun dari 1971 hingga 1978.

Hadiah

Terdapat beberapa hadiah yang ditawarkan oleh Electronic Frontier Foundation (EFF) buat rekod nombor perdana.^[8] Nombor perdana dengan satu juta digit ditemui pada tahun 1999, dengan hadiah diberi sebanyak AS$50,000. Pada tahun 2008, hadiah utama sepuluh juta digit memenangi hadiah AS$100,000 dan Anugerah Pengkomputeran Kerjasama daripada EFF.^[8] Time memanggil nombor perdana ini sebagai ciptaan ke-29 teratas pada tahun 2008.^[9]

Kedua-dua nombor perdana ini ditemui melalui Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), satu projek usaha pencarian jarak jauh dalam kalangan puluhan ribu komputer dengan ribuan sukarelawan. Hadiah $50,000 pergi kepada penemu dan hadiah $100,000 pergi ke GIMPS. GIMPS akan membahagikan hadiah AS$150,000 buat nombor perdana pertama dengan lebih 100 juta digit kepada peserta yang menang. Hadiah tambahan AS$250,000 ditawarkan buat nombor perdana pertama dengan sekurang-kurangnya satu bilion digit.^[8]

GIMPS juga menawarkan anugerah penemuan penyelidikan bernilai AS$3,000 buat peserta yang menemui perdana Mersenne baharu yang besarnya kurang daripada 100 juta digit.^[10]

Sejarah

Cap pos peringatan yang digunakan oleh Jabatan Matematik UIUC selepas pengesahan M₁₁₂₁₃ sebagai nombor perdana.

Jadual berikut menyenaraikan janjang nombor perdana terbesar yang diketahui dalam tertib menaik.^[3] Di sini, M_p = 2^p − 1 ialah nombor Mersenne dengan eksponen p, dengan p ialah nombor perdana. Pemegang rekod terpanjang yang diketahui ialah M₁₉ = 524,287, yang merupakan perdana terbesar yang diketahui selama 144 tahun. Tiada rekod diketahui sebelum 1456.^{[perlu rujukan]}

Sukarelawan GIMPS menjumpai enam belas nombor perdana rekod terkini, dengan kesemuanya nombor perdana Mersenne. Sepanjang sejarah, ia ditemui melalui komputer peribadi, tetapi rekod terkini berjaya ditemui oleh Luke Durant dengan menggunakan rangkaian beribu-ribu unit pemprosesan grafik khusus.^[1]

Nombor	Nilai sebenar (sebahagian bagi bilangan > M₁₀₀₀)	Digit	Tahun dijumpai	Penemu
M₁₃	8,191	4	1456	Orang awanama
M₁₇	131,071	6	1588	Pietro Cataldi
M₁₉	524,287	6	1588	Pietro Cataldi
${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$	6,700,417	7	1732	Leonhard Euler? Euler tidak menerbitkan keperdanaan secara khusus, tetapi teknik yang dipakainya untuk memfaktorkan 2³² + 1 bermakna beliau telah melakukan kebanyakan jalan kira untuk membuktikannya, dengan sebilangan pakar menganggap bahawa beliau sendiri tahu.^[11]
M₃₁	2,147,483,647	10	1772	Leonhard Euler
${\tfrac {10^{18}+1}{1000001}}$	999,999,000,001	12	1851	Disertai (tetapi disoal) dalam senarai nombor perdana Looff. Oleh kerana beliau kurang pasti, sebilangan pakar tidak memasukkan ini sebagai rekod.
${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$	67,280,421,310,721	14	1855	Thomas Clausen (tetapi tanpa bukti).
M₁₂₇	170,141,183,460,469, 231,731,687,303,715, 884,105,727	39	1876	Édouard Lucas
${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanikal; rekod terbesar ditemui melalui alat selain komputer.
180×(M₁₂₇)²+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221	79	1951	J. C. P. Miller dan D. J. Wheeler^[12] Dengan komputer EDSAC Cambridge
M₅₂₁	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151	157	1952	Raphael M. Robinson
M₆₀₇	531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127	183	1952	Raphael M. Robinson
M₁₂₇₉	104079321946...703168729087	386	1952	Raphael M. Robinson
M₂₂₀₃	147597991521...686697771007	664	1952	Raphael M. Robinson
M₂₂₈₁	446087557183...418132836351	687	1952	Raphael M. Robinson
M₃₂₁₇	259117086013...362909315071	969	1957	Hans Riesel
M₄₄₂₃	285542542228...902608580607	1,332	1961	Alexander Hurwitz
M₉₆₈₉	478220278805...826225754111	2,917	1963	Donald B. Gillies
M₉₉₄₁	346088282490...883789463551	2,993	1963	Donald B. Gillies
M₁₁₂₁₃	281411201369...087696392191	3,376	1963	Donald B. Gillies
M₁₉₉₃₇	431542479738...030968041471	6,002	1971	Bryant Tuckerman
M₂₁₇₀₁	448679166119...353511882751	6,533	1978	Laura A. Nickel dan Landon Curt Noll^[13]
M₂₃₂₀₉	402874115778...523779264511	6,987	1979	Landon Curt Noll^[13]
M₄₄₄₉₇	854509824303...961011228671	13,395	1979	David Slowinski dan Harry L. Nelson^[13]
M₈₆₂₄₃	536927995502...709433438207	25,962	1982	David Slowinski^[13]
M₁₃₂₀₄₉	512740276269...455730061311	39,751	1983	David Slowinski^[13]
M₂₁₆₀₉₁	746093103064...103815528447	65,050	1985	David Slowinski^[13]
$391581\times 2^{216193}-1$	148140632376...836387377151	65,087	1989	Kumpulan "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.^[14]^[15] Nombor perdana bukan Mersenne terbesar selaku nombor perdana terbesar ketika ditemui.
M₇₅₆₈₃₉	174135906820...328544677887	227,832	1992	David Slowinski dan Paul Gage^[13]
M₈₅₉₄₃₃	129498125604...243500142591	258,716	1994	David Slowinski dan Paul Gage^[13]
M_1257787	412245773621...976089366527	378,632	1996	David Slowinski dan Paul Gage^[13]
M_1398269	814717564412...868451315711	420,921	1996	GIMPS, Joel Armengaud
M_2976221	623340076248...743729201151	895,932	1997	GIMPS, Gordon Spence
M_3021377	127411683030...973024694271	909,526	1998	GIMPS, Roland Clarkson
M_6972593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999	GIMPS, Nayan Hajratwala
M_13466917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001	GIMPS, Michael Cameron
M_20996011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003	GIMPS, Michael Shafer
M_24036583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004	GIMPS, Josh Findley
M_25964951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005	GIMPS, Martin Nowak
M_30402457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005	GIMPS, profesor Universiti Missouri Tengah Curtis Cooper dan Steven Boone
M_32582657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006	GIMPS, Curtis Cooper and Steven Boone
M_43112609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008	GIMPS, Edson Smith
M_57885161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013	GIMPS, Curtis Cooper
M_74207281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016	GIMPS, Curtis Cooper
M_77232917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017	GIMPS, Jonathan Pace
M_82589933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018	GIMPS, Patrick Laroche
M_136279841	881694327503...219486871551	41,024,320	2024	GIMPS, Luke Durant

Rujukan

^ ^a ^b ^c "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1". Mersenne Research, Inc. 21 October 2024. Dicapai pada 21 October 2024.
^ "The largest known primes – Database Search Output". Prime Pages. Dicapai pada 19 March 2023.
^ ^a ^b Caldwell, Chris. "The Largest Known Prime by Year: A Brief History". Prime Pages. Dicapai pada 19 March 2023.
^ "Perfect Numbers". Penn State University. Dicapai pada 6 October 2019. An interesting side note is about the binary representations of those numbers...
^ McKinnon, Mika (January 4, 2018). "This Is the Largest Known Prime Number Yet". Smithsonian. Dicapai pada July 6, 2024.
^ Johnston, Nathaniel (September 11, 2009). "No, Primes with Millions of Digits Are Not Useful for Cryptography". njohnston.ca. Dicapai pada July 6, 2024.
^ "List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet". www.mersenne.org. "41024320" link is to a zip file with the digits. Dicapai pada 2024-10-21.
^ ^a ^b ^c "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation. October 14, 2009. Dicapai pada November 26, 2011.
^ "Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime". Time. Time Inc. October 29, 2008. Diarkibkan daripada yang asal pada November 2, 2008. Dicapai pada January 17, 2012.
^ "GIMPS by Mersenne Research, Inc". mersenne.org. Dicapai pada 21 November 2022.
^ Edward Sandifer, C. (19 November 2014). How Euler Did Even More. The Mathematical Association of America. ISBN 9780883855843.
^ Miller, J. C. P. (1951). "Large Prime Numbers". Nature. 168 (4280): 838. Bibcode:1951Natur.168..838M. doi:10.1038/168838b0.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.
^ Brown, John; Noll, Landon Curt; Parady, B. K.; Smith, Joel F.; Zarantonello, Sergio E.; Smith, Gene Ward; Robinson, Raphael M.; Andrews, George E. (1990). "Letters to the Editor". The American Mathematical Monthly. 97 (3): 214–215. doi:10.1080/00029890.1990.11995576. JSTOR 2324686.
^ Proof-code: Z, The Prime Pages.

Pautan luar

[GIMPS-2024-1] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1". Mersenne Research, Inc. 21 October 2024. Dicapai pada 21 October 2024.

[2] "The largest known primes – Database Search Output". Prime Pages. Dicapai pada 19 March 2023.

[computer_history-3] Caldwell, Chris. "The Largest Known Prime by Year: A Brief History". Prime Pages. Dicapai pada 19 March 2023.

[4] "Perfect Numbers". Penn State University. Dicapai pada 6 October 2019. An interesting side note is about the binary representations of those numbers...

[5] McKinnon, Mika (January 4, 2018). "This Is the Largest Known Prime Number Yet". Smithsonian. Dicapai pada July 6, 2024.

[6] Johnston, Nathaniel (September 11, 2009). "No, Primes with Millions of Digits Are Not Useful for Cryptography". njohnston.ca. Dicapai pada July 6, 2024.

[7] "List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet". www.mersenne.org. "41024320" link is to a zip file with the digits. Dicapai pada 2024-10-21.

[prizes-8] "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation. October 14, 2009. Dicapai pada November 26, 2011.

[invention-9] "Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime". Time. Time Inc. October 29, 2008. Diarkibkan daripada yang asal pada November 2, 2008. Dicapai pada January 17, 2012.

[10] "GIMPS by Mersenne Research, Inc". mersenne.org. Dicapai pada 21 November 2022.

[11] Edward Sandifer, C. (19 November 2014). How Euler Did Even More. The Mathematical Association of America. ISBN 9780883855843.

[12] Miller, J. C. P. (1951). "Large Prime Numbers". Nature. 168 (4280): 838. Bibcode:1951Natur.168..838M. doi:10.1038/168838b0.

[isthe-13] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.

[14] Brown, John; Noll, Landon Curt; Parady, B. K.; Smith, Joel F.; Zarantonello, Sergio E.; Smith, Gene Ward; Robinson, Raphael M.; Andrews, George E. (1990). "Letters to the Editor". The American Mathematical Monthly. 97 (3): 214–215. doi:10.1080/00029890.1990.11995576. JSTOR 2324686.

[15] Proof-code: Z, The Prime Pages.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]