Normalizzazione (matematica)

In matematica, per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma uguale a 1.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli $n$ vettori componenti dell'insieme

$B_{O}\ ={\big \{}b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}{\big \}}$

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi $n$ vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

$u_{i}={\frac {b_{i}}{\left\|b_{i}\right\|}}\ \ \ i=1,2,\dots n,$

ognuno dei vettori $u_{i}$ così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre, questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

$B_{u}\ ={\big \{}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}{\big \}}$

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Probabilità

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione $f$ di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=a>0$

può essere riscalata per $a,$ dando origine a una funzione di densità di probabilità:

$g(x)={\frac {1}{a}}f(x)\geq 0$

$\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)dx={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1.$

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

Applicazioni

Trigonometria

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

$a\sin x+b\cos x+c=0.$

Si dividono entrambi i membri per ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia $a$ che $b$ siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale $c=0.$

Si ottiene:

${\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0.$

Notiamo ora che i due coefficienti ${\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ e ${\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo $\varphi$. Si ha quindi:

$\cos \varphi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

$\sin \varphi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Ora l'equazione iniziale diventa:

$\cos \varphi \sin x+\sin \varphi \cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0,$

da cui si ottiene

$\sin(x+\varphi )=-{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo $x+\varphi$, e poiché il valore dell'angolo $\varphi$ è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito $x.$

Voci correlate

• Versore
• Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt