Insieme infinito

Un insieme infinito è intuitivamente un insieme per il quale non sia possibile elencare i suoi elementi.

Definizioni matematicamente rigorose si possono dare nella teoria degli insiemi. In particolare esistono tre tipi di caratterizzazione o possibili definizioni degli insiemi infiniti:

• un insieme $X$ è infinito se non è finito ovvero non esiste una corrispondenza biunivoca tra X e un numero naturale (insieme non-finito)
• un insieme $X$ è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca tra $X$ ed un suo sottoinsieme proprio (insieme infinito secondo Dedekind)
• un insieme $X$ è infinito se contiene $\mathbb {N}$ i numeri naturali (insieme infinito secondo Cantor)

Le tre definizioni si possono dimostrare equivalenti assumendo l'assioma della scelta. Tale assioma si rivela in effetti indispensabile per mostrare che un insieme non-finito è infinito secondo Cantor o Dedekind: si può dimostrare che gli altri assiomi di Zermelo-Fraenkel da soli non possono provare l'equivalenza delle caratterizzazioni poiché ammettono un modello in cui ci sono insiemi che sono infiniti ma finiti rispetto all'accezione di Dedekind.

Bibliografia

• Luca Barbieri Viale, Teorema 2.26, Che cos'è un numero?, Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043.

Voci correlate

• Infinito (matematica)
• Insieme finito

Collegamenti esterni

• (EN) infinite set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme infinito, su MathWorld, Wolfram Research.

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