Simetri oktahedral

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

"Grup kubus" beralih ke halaman ini. Untuk grup matematika yang berkaitan secara khusus dengan kubus teka-teki berkelok 3x3x3, lihat Grup Kubus Rubik.

Grafik siklus
Keempat siklus heksagonal memiliki kesamaan inversi (simpul hitam di atas). Heksagonal simetris, 3 dan 4 berada dalam siklus yang sama.

Sebuah oktahedron reguler memiliki 24 simetri rotasi (atau perluasan-orientasi), dan 48 simetri secara keseluruhan. Ini termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah kubus memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan polihedron ganda ke segi delapan.

Grup simetri perluasan-orientasi adalah S₄, grup simetris atau grup permutasi dari empat objek, karena tepat satu simetri untuk setiap permutasi dari empat diagonal kubus.

Detail

Kiral dan penuh (atau akiral) simetri oktahedral adalah simetri titik diskret (atau, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar kompatibel dengan simetri translasi. Ia termasuk di antara grup titik kristalografi dari sistem kristal kubik.

Kelas konjugasi

Elemen O		Inversi elemen O
identity	0	inversi	0'
3 × rotasi 180° tentang sumbu lipatan-4	7, 16, 23	3 × refleksi pada bidang tegak lurus pada sumbu lipatan-4	7', 16', 23'
8 × rotasi 120° pada sumbu lipatan-3	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8 × rotorefleksi sebesar 60°	3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20'
6 × rotasi 180° tentang sumbu lipatan-2	1', 2', 5', 6', 14', 21'	6 × refleksi pada bidang tegak lurus pada sumbu lipatan-2	1, 2, 5, 6, 14, 21
6 × rotasi 90° pada sumbu lipatan-4	9', 10', 13', 17', 18', 22'	6 × rotorefleksi sebesar 90°	9, 10, 13, 17, 18, 22

Contoh
$(0,0)=0$	$(3,0)=7$	$(0,3)=3$	$(7,1)=1'$	$(4,5)=9'$
$(7,0)=0'$	$(4,0)=7'$	$(7,3)=3'$	$(0,1)=1$	$(3,5)=9$
Daftar lengkap dapat ditemukan di artikel Wikiversity.

Sebagai grup hiperoktahedral dari dimensi 3 grup oktahedral penuh adalah produk karangan bunga $S_{2}\wr S_{3}\simeq S_{2}^{3}\rtimes S_{3}$,
dan cara alami untuk mengidentifikasi elemen adalah pasangan $(m,n)$ dengan $m\in [0,2^{3})$ dan $n\in [0,3!)$.
Namun, karena ini juga merupakan produk langsung $S_{4}\times S_{2}$, apabila mengidentifikasi unsur-unsur subgrup tetrahedral T_d sebagai $a\in [0,4!)$ dan inversinya sebagai $a'$.

Jadi misalnya identitas $(0,0)$ direpresentasikan sebagai $0$ dan inversi $(7,0)$ sebagai $0'$.
$(3,1)$ direpresentasikan sebagai $6$ dan $(4,1)$ sebagai $6'$.

Sebuah rotorefleksi adalah kombinasi dari rotasi dan refleksi.

Ilustrasi refleksi rotor
Refleksi $7'$ diterapkan pada rotasi 120° $4$ diberikan refleksi rotor 60° $8'$. $7'\circ 4=8'$
Refleksi $7'$ diterapkan pada rotasi 90° $22'$ diberikan rotorefleksi 90° $17$. $7'\circ 22'=17$

Simetri oktahedral kiral

Sumbu girasi
C4	C3	C2
3	4	6

O, 432, atau [4,3]⁺ urutan 24, adalah simetri oktahedral kiral atau simetri oktahedral rotasi. Grup ini adalah kiral simetri tetrahedral T, namun sumbu C₂ sekarang menjadi sebagai sumbu C₄, dan selain itu ada 6 sumbu C₂, melalui titik tengah tepi kubus. T_d dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S₄, grup simetris pada 4 objek. T_d adalah gabungan dari T dan himpunan diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen O \ T dengan inversi. O adalah grup rotasi dari kubus dan oktahedron reguler.

Simetri oktahedral kiral

Proyeksi ortogonal	Proyeksi stereografis
Lipatan-2	Lipatan-4	Lipatan-3	Lipatan-2

Simetri oktahedral penuh

O_h, *432, [4,3], atau m3m orde 48 - simetri oktahedral kiral atau simetri oktahedral penuh. Grup ini memiliki sumbu sama dengan O, namjn dengan bidang cermin, yang terdiri dari bidang cermin T_d dan T_h . Grup ini adalah isomorfik pada S₄.C₂, dan merupakan grup simetri penuh dari kubus dan oktahedron. Ini adalah grup hiperoktahedral untuk n = 3. Lihat pula isometri kubus.

Senyawa kubus dan oktahedron

Setiap wajah dodecahedron Disdyakis adalah domain fundamental.

Grup oktahedral O_h dengan domain fundamental

Dengan sumbu lipatan-4 sebagai sumbu koordinat, domain dasar O_h diberikan oleh 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Sebuah objek dengan simetri ini dicirikan oleh bagian objek dalam domain fundamental, misalnya kubus diberikan oleh z = 1, dan oktahedron oleh x + y + z = 1 (atau pertidaksamaan sesuai, untuk mendapatkan padatan alih-alih permukaan). ax + by + cz = 1 diberikan polihedron dengan 48 wajah, misalnya disdiakis dodecahedron.

Wajah 8-kali-8 digabungkan ke wajah yang lebih besar untuk a = b = 0 (kubus) dan 6-kali-6 untuk a = b = c (segi delapan).

9 garis cermin simetri oktahedral penuh dapat dibagi menjadi dua subgrup 3 dan 6 (digambar dengan warna ungu dan merah), mewakili dalam dua subsimetri ortogonal: D_2j, dan T_d. D_2h simetri digandakan menjadi D_4j dengan 2 cermin dari salah satu dari tiga orientasi.

Simetri oktahedral dan subgrup reflektif
Proyeksi ortografi Proyeksi stereografis Lipatan-4 Lipatan-3 Lipatan-2 Oh, [4,3], , simetri oktahedral penuh (cermin 3+6) Td, [3,3]=[1+,4,3], = , subkelompok tetrahedral (cermin 6) C3v, [3], , subgrup dihedral (cermin 3)	Proyeksi ortografis Proyeksi stereografis Lipatan-4 Lipatan-3 Lipatan-2 D4h, [4,2], subgrup dihedral (cermin 1+2+2) D2h, [2,2]=[4,3*], = subgrup dihedral (cermin 1+1+1) C4v, [4], , subgrup dihedral (cermin 2+2)

Matriks rotasi

Ambil himpunan semua 3x3 matriks permutasi dan diberikan tanda + atau - untuk masing-masing dari tiga ke-1. Ada 6 permutasi x 8 kombinasi tanda = 48 matriks total memberikan grup oktahedral penuh. Ada 24 matriks dengan determinan = +1 dan ini adalah matriks rotasi dari grup oktahedral kiral. 24 matriks lainnya sesuai dengan refleksi atau inversi.

Tiga matriks generator refleksi diperlukan untuk simetri oktahedral, yang mewakili tiga cermin dari diagram Coxeter-Dynkin. Produk dari refleksi menghasilkan 3 generator rotasi.

[4,3],

	Refleksi			Rotasi
Nama	R0	R1	R2	R0R1	R1R2	R0R2
Grup
Urutan	2	2	2	4	3	2
Matriks	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

Subgrup simetri oktahedral penuh

O Td Th Grafik siklus subgrup urutan 24

Subgrup diurutkan dalam diagram Hasse

Subgrup rotasi Subgrup reflektif Subgrup mengandung inversi

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Struktur	Siklus	Urutan	Indeks
Oh	[4,3]		*432	m3m	S4×S2		48	1
Td	[3,3]		*332	43m	S4		24	2
D4h	[2,4]		*224	4/mmm	Dih1×Dih4		16	3
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih13=Dih1×Dih2		8	6
C4v	[4]		*44	4mm	Dih4		8	6
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	8
C2v	[2]		*22	mm2	Dih2		4	12
Cs=C1v	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	24
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×S2		24	2
C4h	[4+,2]		4*	4/m	Z4×Dih1		8	6
D3d	[2+,6]		2*3	3m	Dih6=Z2×Dih3		12	4
D2d	[2+,4]		2*2	42m	Dih4		8	6
C2h = D1d	[2+,2]		2*	2/m	Z2×Dih1		4	12
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	8
S4	[2+,4+]		2×	4	Z4		4	12
S2	[2+,2+]		×	1	S2		2	24
O	[4,3]+		432	432	S4		24	2
T	[3,3]+		332	23	A4		12	4
D4	[2,4]+		224	422	Dih4		8	6
D3	[2,3]+		223	322	Dih3=S3		6	8
D2	[2,2]+		222	222	Dih2=Z22		4	12
C4	[4]+		44	4	Z4		4	12
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	16
C2	[2]+		22	2	Z2		2	24
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	48

Subgrup oktahedral dalam notasi Coxeter

Isometri kubus

48 elemen simetri kubus

Kubus memiliki 48 isometri (elemen simetri), dalam bentuk grup simetri O_h, isomorfik ke S₄ × C₂. Ia dikategorikan sebagai berikut:

• O (identitas dan 23 rotasi tepat) dengan kelas konjugasi berikut (dalam tanda kurung diberikan permutasi dari diagonal tubuh dan representasi kuaternion unit):
  • identitas (identitas; 1)
  • rotasi sekitar sumbu dari pusat wajah ke pusat wajah yang berlawanan dengan sudut 90°: 3 sumbu, 2 per sumbu, dengan 6 ((1 2 3 4), dll; ((1 ± i )/√2, dll)
  • sama dengan sudut 180°: 3 sumbu, 1 per sumbu, bersama-sama 3 ((1 2) (3 4), dst.; i, j, k)
  • rotasi sekitar sumbu dari pusat tepi ke pusat tepi yang berlawanan dengan sudut 180°: 6 sumbu, 1 per sumbu, dengan 6 ((1 2), dll.; ((i ± j )/Templat:Radik, dll. )
  • rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120°: 4 sumbu, 2 per sumbu, dengan 8 ((1 2 3), dst.; (1 ± i ± j ± k' ')/2)
• Sama dengan inversi (x dipetakan ke x) (juga 24 isometri). Perhatikan bahwa rotasi dengan sudut 180° terhadap sumbu yang digabungkan dengan inversi hanyalah refleksi pada bidang tegak lurus. Kombinasi inversi dan rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120° adalah rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 60°, dikombinasikan dengan refleksi pada bidang tegak lurus (rotasi itu sendiri tidak memetakan kubus ke sendiri; irisan bidang refleksi dengan kubus adalah segi enam biasa).

Sebuah isometri kubus dapat diidentifikasi dengan berbagai cara:

• oleh wajah tiga wajah yang berdekatan yang diberikan (katakanlah 1, 2, dan 3 pada dadu) dipetakan ke
• dengan gambar kubus dengan satu wajah tanda non-simetris: wajah dengan tanda, apakah itu normal atau bayangan cermin, dan orientasi
• dengan permutasi dari empat diagonal tubuh (masing-masing dari 24 permutasi dimungkinkan), dikombinasikan dengan sakelar untuk inversi kubus, atau tidak

Untuk kubus dengan warna atau tanda (seperti yang dimiliki dadu), grup simetri adalah subgrup dari O_h.

Contoh:

• C_4v, [4], (*422): jika satu wajah memiliki warna berbeda (atau dua wajah berlawanan memiliki warna berbeda satu sama lain dan dari empat lainnya), kubus memiliki 8 isometri, seperti persegi dalam 2D.
• D_2h, [2,2], (*222): jika wajah yang berlawanan memiliki warna yang sama, berbeda untuk setiap himpunan dua, kubus memiliki 8 isometri, seperti kuboid.
• D_4h, [4,2], (*422): jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 16 isometri, seperti persegi prisma (kotak persegi).
• C_2v, [2], (*22):
  • jika dua wajah berdekatan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri.
  • jika tiga wajah, yang dua berhadapan satu sama lain, memiliki satu warna dan tiga lainnya satu warna lain, maka kubus memiliki 4 isometri.
  • jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan dua wajah berlawanan lainnya juga, dan dua yang terakhir memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri, seperti selembar kertas kosong dengan bentuk dengan simetri cermin.
• C_s, [ ], (*):
  • jika dua wajah berdekatan memiliki warna berbeda satu sama lain, dan empat lainnya memiliki warna ketiga, maka kubus memiliki 2 isometri.
  • jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 2 isometri, seperti selembar kertas kosong asimetris.
• C_3v, [3], (*33): jika tiga wajah, tidak berhadapan satu sama lain, yang memiliki satu warna dan tiga lainnya memiliki warna lain, maka kubus memiliki 6 isometri.

Untuk beberapa subgrup lebih besar, kubus dengan grup dikenal sebagai grup simetri yabg tidak mungkin dilakukan hanya dengan mewarnai seluruh wajah. Apabila harus menggambar beberapa pola wajah.

Contoh:

• D_2d, [2⁺,4], (2*2): jika satu wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, dan berlawanan memiliki arah tegak lurus, maka kubus memiliki 8 isometri; bidang simetri dan simetri putar lipatan-2 dengan sumbu dengan bentuk sudut 45° pada bidang tersebut, dan sebagai hasilnya, apabila bidang simetri lain tegak lurus dengan yang pertama, dan sumbu lain dari simetri rotasi lipatan-2 tegak lurus terhadap yang pertama.
• T_h, [3⁺,4], (3*2): jika setiap wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan "tidak" bertemu di tepi, maka kubus memiliki 24 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi (x dipetakan ke x).
• T_d, [3,3], (*332): jika kubus terdiri dari delapan kubus kecil, empat putih dan empat hitam, disatukan secara bergantian di ketiga arah standar, kubus memiliki lagi 24 isometri: kali ini permutasi genap dari diagonal tubuh dan kebalikan dari rotasi tepat lainnya.
• T, [3,3]⁺, (332): jika setiap wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-2, apabila ia adalah huruf S, sehingga pada semua sisi salah satu sisi S bertemu dengan sisi S lainnya, maka kubus memiliki 12 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh.

Simetri penuh kubus, O_h, [4,3], (*432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama sehingga simetri penuh persegi, dengan untuk persegi suatu grup simetri, Dih₄, [4], urutan 8.

Simetri penuh kubus bawah rotasi ketepatan, O, [4,3]⁺, (432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-4, C₄, [4]⁺.

Simetri oktahedral dari permukaan Bolza

Dalam teori permukaan Riemann, permukaan Bolza, biasanya disebut juga kurva Bolza, diperoleh sebagai penutup ganda bercabang dari bola Riemann, dengan lokus cabang pada himpunan simpul dari oktahedron tertulis biasa. Grup automorfisme termasuk involusi hiperelips invers antara dua lembar penutup. Hasil bagi subgrup urutan 2 dihasilkan oleh involusi hiperelips dengan grup simetri oktahedron tepat. Di antara banyak sifat luar dari permukaan Bolza adalah ia memaksimalkan sistolik di antara semua permukaan hiperbolik genus 2.

Padatan dengan simetri kiral oktahedral

Kelas	Nama	Gambar	Wajah	Tepi	Sudut	Nama ganda	Gambar
Padatan Archimedean (padatan Catala)	kubus umpat		38	60	24	ikositetrahedron pentagonal

Padatan dengan simetri oktahedral penuh

Class	Nama	Gambar	Wajah	Tepi	Sudut	Nama ganda	Gambar
Padatan platonis	Kubus		6	12	8	Oktahedron
Padatan Archimedean (padatan Catalan ganda)	Kuboktahedron		14	24	12	Dodekahedron belah ketupat
	Kubus potongan		14	36	24	Triakis oktahedron
	Oktahedron potongan		14	36	24	Tetrakis heksahedron
	Belah ketupat cuboktahedron		26	48	24	Ikositetrahedron deltoid
	Kuboctahedron potongan		26	72	48	Dodecahedron Disdiakis
Polihedron senyawa biasa	Stella oktangula		8	12	8	Ganda-diri
	Kubus dan oktahedron		14	24	14	Ganda-diri

Lihat pula

• Simetri tetrahedral
• Simetri ikosahedral
• Grup oktahedral biner
• Grup hiperoktahedral
• Bahan belajar tentang Full octahedral group di Wikiversitas

Referensi

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Grup oktahedral". MathWorld. 
• Grupprop: Produk langsung S4 dan Z2