Ugrás a tartalomhoz

Momentumok módszere

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A statisztikában a momentumok módszere a populáció paraméterei becslésének egy módja.

A módszer első lépése a populációmomentumok (azaz a szóban forgó valószínűségi változó hatványainak várható értékei) kifejezése a vizsgált paraméterek függvényében. Ezeket a kifejezéseket ezután egyenlővé tesszük a mintamomentumokkal. Az így kapott egyenletek száma megegyezik a becsülendő paraméterek számával. Ezeket az egyenleteket ezután megoldjuk a kérdéses paraméterekre. A megoldások ezeknek a paramétereknek a becslései.

A momentumok módszerét Pafnutyij Csebisev vezette be 1887-ben a központi határeloszlástétel bizonyítása során. Az az elképzelés, hogy megfelelő empirikus momentumokat a populációmomentumokkal kell egyenlővé tenni, legalább Pearsonig megy vissza. 

Módszer

[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy a probléma darab ismeretlen paraméter becslése, amik a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét parametrizálják.[1] Tegyük fel, hogy az eloszlás első momentuma felírható a paraméterek függvényeként:

Vegyünk egy méretű mintát, ami a értékeket eredményezi . A indexekre legyen

a j-edik mintamomentum, ami empirikus becslése. A paramétekre adott becsléseink – melyeket rendre a változók jelölnek – az alábbi egyenletek megoldásaiként vannak definiálva (ha ilyen megoldás létezik): 

Előnyök és hátrányok

[szerkesztés]

A momentumok módszere meglehetősen egyszerű, és konzisztens becsléseket ad (nagyon gyenge feltételezések mellett), bár ezek a becslések gyakran torzítottak.

A momentumok módszere a maximum likelihood módszer alternatívája.

Egyes esetekben azonban a maximum likelihood módszer által adott egyenletek megoldhatatlanok lehetnek számítógépek nélkül, míg a momentum alapú becslések sokkal gyorsabban és könnyebben kiszámíthatóak. A könnyű kiszámíthatóság miatt a momentum-becslések használhatók a likelihood egyenletek megoldásainak első közelítéseként, majd az egymást követő javított közelítések a Newton–Raphson-módszerrel kereshetők. Ily módon a momentumok módszere segíthet a maximum likelihood becslések megtalálásában.

Egyes esetekben, nagy mintáknál ritkán, de kis mintáknál nem olyan ritkán, a momentumok módszerével adott becslések kívül esnek a paramétertéren (ahogy az alábbi példában látható); ilyenkor nincs értelme rájuk hagyatkozni. Ez a probléma soha nem merül fel a maximum likelihood módszernél. A momentumok módszerével kapott becslések sem feltétlenül elégséges statisztikák, azaz néha nem veszik figyelembe a mintában szereplő összes releváns információt.

Más szerkezeti paraméterek (pl. hasznossági függvény paraméterei, ismert valószínűségi eloszlás paraméterei helyett) becslésekor előfordulhat, hogy nem ismertek megfelelő valószínűségi eloszlások, és a momentum alapú becslések előnyben részesíthetők a maximum likelihood becsléssel szemben.

Példák

[szerkesztés]

A momentumok módszerének példakénti alkalmazása a polinomiális sűrűségfüggvények becslése. Ebben az esetben egy közelítő -ed fokú polinom az intervallumon van meghatározva. A momentumok módszere ezután egy egyenletrendszert ad, amelynek megoldása egy Hankel-mátrix invertálásával jár.[2]

Egyenletes eloszlás

[szerkesztés]

Tekintsük az egyenletes eloszlást a intervallumon: . Ha akkor

Ezen egyenletek megoldása azt adja, hogy

Ha adott egy minta, akkor használhatjuk a mintamomentumokat -t és -t ezekből a képletekből hogy megbecsüljük -t és -t .

Ne feledjük azonban, hogy ez a módszer bizonyos esetekben inkonzisztens eredményeket adhat. Például ha a minta a becslés a eredményt adja annak ellenére, hogy és így lehetetlen hogy a minta az eloszlásból származzon.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Kimiko O. Bowman and L. R. Shenton, "Estimator: Method of Moments", pp 2092–2098, Encyclopedia of statistical sciences, Wiley (1998).
  2. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Polynomial probability distribution estimation using the method of moments". PLoS ONE 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Method of moments (statistics) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.