Karakterisztika

Az absztrakt algebrában a karakterisztika a gyűrűk (azok között is kiemelt fontossággal a testek) numerikus jellemzője. Definíciója azon az észrevételen alapul, hogy bizonyos gyűrűkben bármely elemet önmagával elég sokszor összeadva 0-t kapunk. A legkisebb olyan n számot, amelyre teljesül az, hogy egy adott gyűrű bármelyik elemét n-szer összeadva 0-t kapunk, a gyűrű karakterisztikájának nevezzük. Ha ilyen n szám nincsen, azt mondjuk, a gyűrű karakterisztikája 0. Az $R$ gyűrű karakterisztikájának szokásos jele $\operatorname {char} (R)$.

Definíció

Gyűrűkben

Legyen $R=(U,+,\cdot ,0)$ egy gyűrű. Ekkor, amennyiben létezik olyan n ∈ ℕ⁺ szám, melyre bármely r ∈ R esetén

$nr={\begin{matrix}\underbrace {r+r+\cdots +r} \\n\ db.\end{matrix}}=0\in U$,

akkor a legkisebb ilyen k ∈ ℕ⁺ pozitív egész számot nevezzük az R gyűrű karakterisztikájának; ha pedig ilyen n pozitív egész szám nem létezik, akkor a gyűrű karakterisztikáját 0-nak definiáljuk. A karakterisztika jele $\operatorname {char} \,R$ vagy $\operatorname {char} (R)$ .

Formálisan tehát

$\operatorname {char} (R):=\min \left\{n\in \mathbb {N} ^{+}\ |\forall r\in R\ :\ nr={\begin{matrix}\underbrace {r+r+\cdots +r} \\n\ db.\end{matrix}}=0\in U\right\}$.

Szavakban elmondva: a legkisebb olyan pozitív egész szám az R gyűrű karakterisztikája, mellyel a gyűrű összes elemét többszörözve a nullelem adódik (ha pedig ilyen többszöröző nincs, a 0 egész szám a karakterisztika).

Nullosztómentes gyűrűkben

A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k ∈ ℕ⁺-t az R karakterisztikájának, melyre van olyan a ∈ U \ {0} nem nulla elem, hogy ka = 0 (vagy pedig k = 0 -t , ha nincs ilyen szám semmilyen nem nullelem a-hoz).

A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: legyen R nullosztómentes gyűrű, ekkor ha létezik olyan a ∈ R \ {0} elem és n ∈ ℕ⁺ szám , amelyre na = 0 , akkor bármely r ∈ R-re nr = 0 , akkor a legkisebb ilyen legyen az R karakterisztikája, ha pedig nem létezik, akkor a 0 egész szám legyen.

Ugyanis ekkor

$0=na=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n\ db}$.

Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely R-beli r-rel; egyrészt 0r = 0 (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben zéruselem is); másrészt ezzel egyenlő

$(na)r=\underbrace {\left(a+a+\cdots +a\right)} _{n\ db}\cdot r=\underbrace {ar+ar+\cdots +ar} _{n\ db}=a\underbrace {\left(r+r+\cdots +r\right)} _{n\ db}=a(nr)$;

s mivel $a\neq 0$ , ezért a nullosztómentesség miatt $nr=0$.

Testekben

Ha egy gyűrű $T=(U,+,\cdot ,0,1)$ test, ennek automatikusan van egységeleme, és nullosztómentes is; a karakterisztikát ekkor az egységelem segítségével is szokták definiálni, úgy, mint a legkisebb pozitív egész számot, mellyel az egységelemet többszörözve a nullelemet kapjuk – ha nem létezik ilyen egész, akkor meg 0 a test karakterisztikája.

A karakterisztika 0 vagy prím

Nullosztómentes és legalább kételemű gyűrű karakterisztikája, ha nem nulla, akkor mindig prímszám. Legyen ugyanis k ∈ ℕ⁺ a karakterisztika, ekkor tehát minden a∈R-re ka = 0. Megmutatjuk, hogy k csak triviálisan bontható fel két tényező szorzatára, de nem 1; amiből következik, hogy prím. Ugyanis k = 1 esetén 1a = 0-ból az következne, tehát a gyűrű minden eleme a nullelem lenne, és így nem lenne legalább kételemű. Tegyük fel, hogy k = uv, ahol u, v ∈ ℕ⁺, és hogy a ≠ 0. Ekkor

$0=na={\begin{matrix}\underbrace {a+a+\cdots +a} \\n\ db.\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {a+a+\cdots +a} \\uv\ db.\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\cdots +a} \\u\ db.\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\cdots +a} \\u\ db.\end{matrix}}+\cdots +{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\cdots +a} \\u\ db.\end{matrix}}} \\v\ db.\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {(ua)+(ua)+\cdots +(ua)} \\v\ db.\end{matrix}}=v(ua)$,

tehát az ua elem v-szerese 0, ahol k = uv miatt u≤k és v≤k .

• Most lehetséges ua = 0, ekkor u kisebb mint a k karakterisztika, és u egy nem nulla elemet 0-vá többszöröz, holott a legkisebb ilyen szám a karakterisztika; ekkor tehát u = k és így v = 1; ez esetben a k = uv felbontás triviális.
• Feltehető ua ≠ 0 is, mivel érvényes v(ua) = 0, ekkor mivel R nullosztómentes, ezért az előzőek szerint ua ≠ 0-ból következik, hogy tetszőleges r ∈ R-re vr = 0. De a legkisebb ilyen szám a k karakterisztika, tehát v = k, és így u = 1, tehát a k = uv felbontás ismét triviális. Kimutattuk, hogy k tetszőleges felbontása triviális, azaz k = char(R) prím.

Eszerint tehát – mivel test mindig nullosztómentes – test karakterisztikája mindig prímszám, hacsak nem 0.

A karakterisztika mint additív rend

Mivel egy gyűrű karakterisztikája a gyűrű additív (Abel-)csoportjának nem nulla elemeinek rendje, ezért érvényesek rá a következők:

1. Ha n, m ∈ ℕ⁺, és a ∈ R, akkor $na=ma\Leftrightarrow n\equiv m{\pmod {\operatorname {char} (R)}}$
2. $\operatorname {char} (R)\ \left|\ \ |R|=|U|\right.$, azaz a karakterisztika osztója a gyűrű rendjének, azaz a tartóhalmaz elemszámának (Lagrange tételének egy következménye miatt).
3. Prím elemszámú nullosztómentes gyűrű elemszáma maga a karakterisztika, hiszen mind az elemszám, mind a karakterisztika prím, és egyik osztója a másiknak, akkor hát megegyeznek.

Alkalmazások

Két nagyon fontos és nagyon sokat használt alkalmazást említünk:

• az egyik a prímtest létezésének igazolása, és a véges testek jellemzése elemszám szempontjából (véges test elemszáma mindig prímhatvány, mégpedig a karakterisztika hatványa; véges testnek mindig van egy minimális, prím elemszámú részteste, melynek elemszáma épp a karakterisztika; e test a prímtest);
• továbbá ha a gyűrűbeli elemeket a karakterisztikára mint hatványkitevőre emeljük, így az ún. Frobenius-függvény értékeit számoljuk ki, mely leképezésről belátható, hogy testekben homomorfizmus, azaz összeg- és szorzattartó; utóbbi állításnak fontos szerepe van a véges testek feletti polinomok elméletében.