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Analyse globale

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L'analyse globale est une branche des mathématiques qui traite des problèmes globaux d'analyse. Elle fait appel pour cela à des notions de topologie (topologie générale, topologie différentielle, topologie algébrique, topologie géométrique, théorie des espaces vectoriels topologiques), de géométrie différentielle et d'analyse fonctionnelle. L'analyse globale a pour première caractéristique, par rapport à l'analyse locale, de faire appel à des concepts non linéaires, étant donné qu'un espace vectoriel (de dimension finie) n'est que l'approximation locale d'une variété différentielle. D'où le rôle prédominant que joue la géométrie différentielle en analyse globale, qui est une synthèse de l'analyse classique et de la géométrie[1]. Les variétés considérées sont souvent des variétés de fonctions, et par conséquent admettent en chaque point un espace tangent de dimension infinie (espace de Hilbert, de Banach, de Fréchet, etc.). C'est pourquoi l'analyse globale, telle que l'a conçue James Eells vers la fin des années 1950 et dans les années 1960[2],[3],[4], est entre autres une analyse fonctionnelle non linéaire sur les variétés banachiques[5], variétés dont N. Bourbaki[6] et Serge Lang[7] ont posé les fondements durant la même période. C'est également le point de vue de Richard Palais[8],[9] et Jerrold E. Marsden[10]. Un exemple typique d'application de l'analyse globale est le calcul des variations global (théorie de Morse) pour lequel les variétés hilbertiennes ou banachiques sont parfaitement adaptées[11],[12],[13],[14]. Selon le point de vue de Stephen Smale, l'analyse globale peut également se concevoir comme l'étude des équations différentielles, ordinaires et aux dérivées partielles, sur les variétés et les fibrés différentiels[15],[16],[17], notamment la stabilité structurelle de ces équations. L'étude globale des géodésiques fait bien entendu partie de l'analyse globale dans les deux acceptions qui viennent d'être précisées[18].

Évolution de l'analyse globale

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Les pionniers de l'analyse globale sont Henri Poincaré (années 1880), George David Birkhoff (années 1920), Marston Morse (années 1930), Hassler Whitney (années 1940) et Solomon Lefschetz (années 1950), ainsi que les représentants de l’École russe (Alexandre Liapounov, Aleksandr Andronov, Lev Pontriaguine)[1]. Les années 1960 et 1970 ont vu l'explosion de nouveaux résultats qui a été évoquée plus haut et la formulation systématique des problèmes d'analyse globale dans les variétés et fibrés banachiques. Dans les années 1980, ce cadre s'est révélé trop étroit pour nombre d'applications et certains travaux se sont orientés vers l'étude des variétés de Fréchet de fonctions [19],[20].

Notes

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  1. ↑ a et b Abraham, Marsden et Ratiu 1983
  2. ↑ Eells Jr. 1958
  3. ↑ Eells Jr. 1959
  4. ↑ Eells Jr. 1966
  5. ↑ Schwartz 1969
  6. ↑ Bourbaki 1983
  7. ↑ Lang 1962
  8. ↑ Palais 1965
  9. ↑ Palais 1968
  10. ↑ Marsden 1974
  11. ↑ Palais 1963
  12. ↑ Palais 1969
  13. ↑ Palais et Smale 1964
  14. ↑ Palais et Terng 1988
  15. ↑ Smale 1967
  16. ↑ Smale 1969
  17. ↑ Smale 2000
  18. ↑ Klingenberg 1978
  19. ↑ Michor 1980
  20. ↑ Kriegl et Michor 1997

Références

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Ouvrages de synthèse

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Géométrie différentielle (variétés banachiques)

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Analyse globale et analyse fonctionnelle non linéaire

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Autres références

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Livres

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  • (en) Wilhelm Klingenberg, Lectures on Closed Geodesics, Springer,
  • (en) Serge Lang, Introduction to Differentiable Manifolds, John Wiley,
  • (en) Jerrold E. Marsden, Applications of Global Analysis in Mathematical Physics, Publish or Perish, Inc., (lire en ligne)
  • (en) Peter W. Michor, Manifolds of Differentiable Mappings, Shiva Publishing Ltd, (lire en ligne)
  • (en) Richard Palais, Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem, Princeton University Press, (lire en ligne)
  • (en) Richard Palais et Chuu-lian Terng, Critical Point Theory and Submanifold Geometry, Springer, (lire en ligne)
  • (en) Stephen Smale, Collected Papers (vol. 2), Singapore University Press, , 1677 p. (ISBN 978-981-02-4992-2, lire en ligne)

Articles

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Articles connexes

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Théorèmes
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