Limite

Matematikan, limitea kontzeptu bat da segida edo funtzio baten joera adierazten duena, segida edo funtzio horren parametroak balio jakin batera hurbiltzen direnean. Kalkuluan (bereziki analisi errealean eta matematikoan) kontzeptu horrek erabiltzen da honako funtsezko kontzeptuak definitzeko: konbergentzia, jarraitutasuna, deribazioa eta integrazioa, besteak beste.

Limitea funtzio baten aldagai independenteari baldintzaren bat jarri ondoren, funtzioa hurbiltzen den balioa da, beraz:

$\lim _{x\to c}\,\,f(x)=L$

Funtzio baten limitea

Limitearen definizioan erabilitako parametroak.

Definizio zehatza

Informalki, diogu f(x) funtzioaren limitea L dela, x c-rantz doanean, eta honela idazten da:

\lim _{x\to c}\,\,f(x)=L

okasio bakoitzerako, x aurkitzen badugu c-tik aski hurbil, non f(x) balioa baita L-tik nahi bezain hurbil. Formalki, termino logiko-matematikoak erabiliz:

{\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/\\\forall x/0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}

Definizio honi limitearen epsilon-delta definizioa deritzogu, eta honela irakurtzen da:

«

"Limite efe ixa, ixa c zerantz doanean, berdin L ele da; baldin eta soilik ε epsilon zenbaki erreal positibo bakoitzerako existitzen bada δ delta zenbaki erreal positibo bat, non ixa guztietarako, ezen ixaren eta c zearen arteko distantzia δ baino txikiagoa den, orduan ixaren irudiaren eta L eleren arteko distantzia ε epsilon unitate baino txikiagoa da".

»

Limite aipagarriak

Limite aipagarriak bezala honako hauek ditugu:

${\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}=\,e$ (e zenbakia)
${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}\right)}=\,1$
${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}=\,1$

Segida baten limitea

$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{; }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{; }}n>0\end{cases}}$

Segida baten limitearen definizioa eta funtzio baten limitearen definizioa, $x$ $\infty$ -rantz doanean, oso antzekoa dira. $a_{n}$ segida $a$ limitera doala, edo jotzen duela esaten da, eta honela adierazten da:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a

$N$ zenbaki arrunt bat aurkitu ahal badugu, non segidaren gai guztiak $n$ handitzen denean $a$ -tik oso hurbil dauden. Formalki:

a_{n}\to a\Leftrightarrow

\forall \epsilon >0,\exists N>0:\forall n\geq N,|a_{n}-a|<\epsilon

Limiteen propietateak

Orokorrak

Limiteek honako propietate hauek betetzen dituzte:

$\lim _{x\to a}x=\,a\,$
Eskalar bat duen limitea.

\lim _{x\to a}kf(x)=\,k\lim _{x\to a}f(x)\,

non k eskalar biderkatzailea den.

Batuketaren limitea.

\lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)\,

Kenketaren limitea.

\lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)\,

Biderketaren limitea.

\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)\,

Zatiketaren limitea.

{\underset {x\to a}{\lim }}\;{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}\;f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}\;g(x)}}\quad \mathrm {si} \ \lim _{x\to a}g(x)\neq 0

Indeterminazioak

Badaude zenbait limite zuzenean ebaluatuz gero, honako adierazpenen bat lortzen dugun:

\infty -\infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad \infty \cdot 0,\quad {\frac {0}{0}},\quad \infty ^{0},\quad 1^{\infty },\quad 0^{0}

Adierazpen hauei indeterminazioak deritzegu, zeren, lehen begiratuan, ez baitago argi zein izan liteke limitea (existitzen baldin bada). Esaterako, bigarrena ekuazioan, limitea 0, 1 edo infinitu izan liteke. Batzuetan, adierazpena sinplifikatuz edo hasierako adierazpenaren beste baliokide bat lortuz, arrazionalizazioaren edo faktorizazioaren bidez, indeterminazioa ebatz daiteke eta limitea kalkulatu. Beste batzuetan, ahalmen handiagoko beste tresnez baliatu behar dugu, esaterako desberdintzak edo L'Hopitalen erregela.

$\textstyle {\frac {0}{0}}$ motako indeterminazioaren adibideak dira honako hiru kasuetan agertzen direnak, eta kasu bakoitzean (sinplifikatu ondoren), limite desberdina lortzen da:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {sinplifikatuz} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}=\infty$