Kokapen-notazio

Kokapen-notazioa zenbaki-sistema bat da; zifra bakoitzak, bere kokapen erlatiboaren arabera, oinarriak zehazten duen balio bat du, zeina edozein zenbaki idazteko behar den zifra kopurua den. Kokapen-zenbaketa adibide bat erabili ohi den sistema hamartarra da (10 oinarria), hamar zifra ezberdin behar dituena; sinbolo batez (grafema) osatuta egon behar du, zeinaren balioa goranzko ordenan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 den. Oinarri baxuagoko sistemetan idatzitako zenbakietarako, balio txikieneko zifrak soilik erabiltzen dira; 10 baino oinarri handiagoak dituzten idazkietarako, letrak erabiltzen dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, . . .

Historia

Lehenengo kokapen zenbaki-sistema K. a. II milurtekoaren hasieran dokumentatuta dago, eta Babiloniako jakintsuek erabiltzen zuten. Geroago, K. a. lehen milurtekoaren amaieran, txinatar matematikariek erabili zuten. Maien zibilizazioko apaiz astronomoek gure garaiko IV. eta IX. mendeen artean, zero balioko zifra duen sistema hogeitar bat erabili zuten, nahiz eta zituen berezitasun batzuek funtzionamendu-aukera kendu zioten^[1].

Zibilizazio indiarra da erabiltzen dugun kokapen-notazioaren sehaska, nahiz eta arabiarrak izan berrikuntza handia sustatu zutenak zenbakizko idazkera hindustandarra erabiliz, balio nulua, zero, duen zifrarekin, sistema hamartarra. Leonardo Pisanok (Fibonacci) sartu zuen sistema hori Mendebaldean, XI. mendean.

Arrazoi teknikoengatik, informatikan bi zenbakian oinarritutako sistema zenbakizkoa aukeratu zen, bi zifra soilik erabiliz: 0 eta 1, baina kokapen-notazioa erabiliz bere funtzionamendu sinpletasun handiagatik.

Ikus, gainera: «sistema hirurogeitar»

Ezaugarriak

Kokapen-notazioa erabiliz, 5 zifrak berak balio ezberdina hartzen du 5, 50 eta 500 zenbakietan. Hori zenbakiak bⁿ faktoreen multiploetan deskonposatzearen ondorioa da, non b oinarria den eta n edozein zenbaki oso..

Intuitibokiago, ordena ezberdinetako unitateetan banatzen dira, hala nola edozein ordenatako b unitateak berehala goragoko ordena batekoaren berdinak dira. Gida gisa balio duen ordena unitatea bera da (b⁰).

Hitzarmenez, idazkera horretako zifrak ezkerretik eskuinera idazten dira (normalean eskuinetik ezkerrera idazten duten hizkuntzetan ere), goikoetatik hasi eta unitate berarekin amaituz eta unitate falta 0 (zero) batekin markatuz. Horrela, sistema hamartarrean:

$505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$

Unitatea baino ordena txikiagoak badaude, koma (') —edo puntu bat (.) zenbait hizkuntzatan— idazten da unitateetatik bereizteko, eta handiagotik txikiagora idazten jarraitzen da, ordena txikiagoko unitateekin amaituz.

$542{,}1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}$

Zenbaki negatiboak aurrean minus ikur batekin markatzen dira:

$-542{,}1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}$

Oinarria zehaztea beharrezkoa bada, azpi-indize gisa idatziko da parentesi artean (logikoki, oinarri hamartarran):

$10_{(5)}=5_{(10)}$

Zenbaki periodikoek (errepikatzen den zenbaki talde bat dutenak) ordena infinitu txikiagoak dituzte, zeinen multiploek eredu bat jarraitzen duten. Zifra multzo hori (periodo deitzen dena) behin idatz daiteke, eta, goiko aldean, arku batekin marka daiteke edo etenpunturekin adierazi zenbakiak jarraitzen duela:

$5{,}0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum _{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}...$

hain zorrotza izan gabe:

$5{,}0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...$

Praktikan, azken irtenbide hori erabili ohi da, edo, zuzenean, zenbakia biribildu edo moztu egiten da.

Zenbaki-oinarrien arteko bihurketa-taula

Bitarra	Oinarria 3	Oinarria 4	Oinarria 5	Oinarria 6	Oinarria 7	Oct	Oinarria 9	Dec	Oinarria 11	Oinarria 12	Oinarria 13	Oinarria 14	Oinarria 15	16tar.
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
11	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
100	11	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
101 .	12 .	11 .	10 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .	5 .
110 .	20 .	12 .	11 .	10 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .	6 .
111 .	21 .	13 .	12 .	11 .	10 .	7 .	7 .	7 .	7 .	7 .	7 .	7 .	7 .	7 .
1000 .	22 .	20 .	13 .	12 .	11 .	10 .	8 .	8 .	8 .	8 .	8 .	8 .	8 .	8 .
1001 .	100 .	21 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	9 .	9 .	9 .	9 .	9 .	9 .	9 .
1010 .	101 .	22 .	20 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	A .	A .	A .	A .	A .	A .
1011 .	102 .	23 .	21 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	B .	B .	B .	B .	B .
1100 .	110 .	30 .	22 .	20 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	C .	C .	C .	C .
1101 .	111 .	31 .	23 .	21 .	16 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	D .	D .	D .
1110 .	112 .	32 .	24 .	22 .	20 .	16 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	E .	E .
1111 .	120 .	33 .	30 .	23 .	21 .	17 .	16 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 .	F .
10000 .	121 .	100 .	31 .	24 .	22 .	20 .	17 .	16 .	15 .	14 .	13 .	12 .	11 .	10 ..

Oinarri-aldaketarako algoritmoak

Algoritmo horiek goian aipatutako bⁿ faktorizazioan oinarritzen dira. Erosotasunerako, kalkulu guztiak oinarri hamartarrekin egiten dira, baina kalkuluak, beste edozein oinarritan ere, ondo funtzionatuko luke.

Oinarri hamaseitarretik oinarri hamartarrera

Besterik gabe, biderkatu zifra bakoitza mendeko potentziaz, eta, ondoren, ebaluatu emaitza zenbaketa arruntean bezala, hamartarren arabera.

${\mbox{5B2,E}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0{,}875]_{(10)}=1458{,}875_{(10)}$

(gogoratu B₍₁₆₎ = 11₍₁₀₎; E₍₁₆₎ = 14₍₁₀₎ dela)

Oinarri hamartarretik oinarri hamaseitarrera

Zatitu zenbakia bere oinarriarengatik gehiago posible ez den arte. Lehenengo zatidura eta hondarrak alderantzizko ordenan irakurriz, atzerriko oinarrian irakur dezakezu zenbakia.

${\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}$

$5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}$

Zenbaki hamartarrak egiteko, algoritmo konplexuagoak behar dira.

Kokapen-notazioaren abantailak

Kokapen-notazio hamartarraren bidez, zenbaki osoko edozein balio hamar zifra soilez idatz daiteke (oinarriak adierazten duen adina), handia edo txikia izan arren, nahiz eta erraz funtzionatzeko balio nuluaren zifra, zero, ezinbestekoa den.