Seisulaine

Punased punktid on seisulaine sõlmed

Seisulaine on laine, mis näiliselt ei liigu. Seisulaine tekib juhul, kui kaks lainet levivad üksteisega vastassuunades. Seisulaine korral võnkumiste energia levikut ei toimu. Seisulaine iga punkt võngub kindla amplituudiga. Punkte, kus amplituud on maksimaalne, nimetatakse seisulaine paisudeks. Punkte, mis ei võngu (amplituud = 0) nimetatakse seisulaine sõlmedeks.

Laineid juhtiva keha otstel paikneb alati seisulaine sõlm. Seetõttu peab keha pikkusele L mahtuma täisarv m poollainepikkusi:

$L={\frac {\lambda }{2}}m$ $\implies \lambda _{m}={\frac {2L}{m}}$

Kui järku tähistav suurus m = 1, on tegemist põhitooniga, kui m > 1, siis vastava ülemheliga.

Seisulaine järgud

Seisulaine järk kasvab, kui kehal pikkusega L hakkavad levima suurema sagedusega ehk lühema lainepikkusega lained. Kõrgemaid järke seisulaineid nimetatakse ülemhelideks. Näiteks instrumentide tämber sõltub ülemhelide arvust ja suhtelisest tugevusest.

Seisulainet on võimalik modelleerida kahest otsast kinnitatud nöörina: Mida kõrgema sagedusega laineid tekitada ehk mida kiiremini liigutada nööri ühest otsast üles-alla, seda rohkem sõlmi ja paise tekib ehk seda kõrgemat järku seisulainet näeme

Sagedus	Järk	Laine amplituudi kujutamine	Gaasi molekulide liikumine helilaine korral
1 × f = 440 Hz	n = 1
2 × f = 880 Hz	n = 2
3 × f = 1320 Hz	n = 3
4 × f = 1760 Hz	n = 4

Seisulained looduses

Seiši tekkimise põhimõtte graafiline kujutus; punane joon tähistab seisulainet (seiši)

Aatomituuma ümbritseva elektroni energiatasemetele vastavad seisulained.

Veelained

Seiš on seisulaine, mis saab tekkida suletud või osaliselt suletud veekogus, nagu järves, veehoidlas, lahes ja nii edasi. Seišilaine tekkimise põhimõte seisneb selles, et mingi välismõju ajel tekkinud lainetus põrkab kaldalt veekogusse tagasi, kus toimub vastassuunaliste lainete liitumine ehk interferents. Enamasti on välismõjudeks tuul, õhurõhk, looded või ka maavärinad.

Helilained

Seisulained tekitavad helisid. Andes metallvardale mehaanilise löögi, hakkavad vardasse tekkima kõik erineva sagedusega võnkumised ning ka kõik erinevat järku seisulained. Sõltuvalt varda kinnihoidmise kohast jäävad võnkuma ainult seisulained, millel on sõlm kinnihoidmise kohas. Need seisulained tekitavad inimkõrvale kuuldava varda helisemise.

Kui hoida metallvarrast täpselt keskelt ning lüüa varrast haamriga, jääb vardas võnkuma teist järku seisulaine, mis paneb varda kõlama teist järku seisulainele iseloomulikult. Hoides keskelt, on näpud teist järku seisulaine jaoks sõlme asukohas ning seetõttu ei summuta varda kinnihoidmine lainet ära vaid varras jääb kõlama

Elektroni seisulained

Aatomituuma ümbritsev elektron moodustab ka seisulaine. Elektroni hoiavad kinni tuuma tõmbejõud, ning selle energiatasemed on diskreetsed, kvanditud. Selline elektron sarnaneb otstest kinnitatud pillikeelega, millel saavad tekkida üksnes teatud kindlate, diskreetsete sageduste (ja lainepikkustega) seisulained. Need lubatud sagedused on määratud kvantarvudega 1, 2, 3, ... ja nii edasi.

Nähtav valgus

Seisulaineid leidub ka optikas, nagu näiteks lainejuhtides, optilistes resonaatorites või interferomeetrites. Kuna nähtava valguse lainepikkus on väga lühike, suurusjärgus 10⁻⁷ m, saab seisulainete abil mõõta interferomeetriga vahemaid ülisuure täpsusega.

Laseri üks tähtsam komponent on optiline resonaator ehk kaks vastamisi paiknevat peeglit. Optilise resonaatori peeglite vahel on laseris valgust võimendav keskkond, näiteks ergastatud kristalliline aine, milles valguse neeldumisel on elektronid viidud kõrgematele energiatasemetele. Kui ergastatud elektroniga sarnase energiaga valgus möödub kõrgema energiaga elektronidest, siirduvad elektronid tagasi madalamale energiatasemele, kiirates selle tulemusena mööduva valgusega koherentset valgust ning seega võimendades pealelangevat valgust. Pideva võimenduse saavutamiseks viiakse keskkonda energiat ehk nn pumbatakse võimendavas keskkonnas elektrone pidevalt kõrgematele energiatasemetele. Vastamisi paiknevate peeglite tõttu liigub valgus mõlemas suunas, tekitades resonaatoris seisulaine. Optilise resonaatori üks peegel on poolläbipaistev, võimaldades osal valgusest laserist välja kiirguda.

Röntgenikiirgus

Kahe röntgenikiire liitumisel ehk interferentsil võib tekkida röntgenikiirguse seisulaine. Röntgenikiirguse lühikese lainepikkuse tõttu (alla 1 nanomeetri), saab seda fenomeni kasutada, et teha aatomi suurusjärgus mõõtmisi näiteks materjalide pindade uurimisel. Röntgenikiirguse seisulaine tekib, kui röntgenikiir interfereerub kas monokristalli võrelt difrakteerunud röntgenikiirega või röntgenikiirguse jaoks mõeldud peeglilt peegeldunud röntgenikiirega. Muutes röntgenikiirguse seisulaine omadusi, muutub pinna aatomite tekitatud röntgenikiirguse fluorestsents või fotoelektronide teke, mille analüüsimise kaudu on võimalik saada infot pooljuhtide lisandite kohta või pindade atomaarse ja molekulaarse adsorptsiooni kohta.

Seisulainete matemaatiline kirjeldus

1D lainevõrrandi üldlahendi tuletamine

Ühedimensionaalne lainevõrrand on omapärane osatuletistega diferentsiaalvõrrand, sest tal leidub üsna lihtne üldlahend.

Lähtume järgnevast x-suunalisest 1D lainevõrrandi kujust:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$

Defineerime uued muutujad:

$\xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct$

Võtame vastavad tuletised, arvestades, et x ja t on mitme muutuja funktsioonid $x(\xi ,\eta )$, $t(\xi ,\eta )$

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}$

${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-c{\frac {\partial }{\partial \xi }}+c{\frac {\partial }{\partial \eta }}$

asendades nad algsesse võrrandisse, saame:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0$

millest saame integreerimisel:

$u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )$

asendades muutujad tagasi:

$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$

Saadud üldlahendist näeme, et ühedimensionaalse lainevõrrandi lahend on summa kahest vastassuunas liikuvast funktsioonist. "Liikumine" tähendab, et nende funktsioonide kuju jääb samaks, aga nad nihkuvad ajas vasakule või paremale kiirusega c.

1D seisulaine funktsiooni tuletamine

Nagu ülevalpool välja toodud, rahuldab ühedimensionaalset lainevõrrandit üldlahend kujul:

$u(x,t)=C_{1}f(x-vt)+C_{2}f(x+vt)$

Vaatleme kahte sama sagedusega harmoonilist lainet, mis levivad vastassuunas. Selline olukord tekib, kui pealelangev laine peegeldub kuskilt tagasi: helilainete puhul näiteks jäigalt seinalt või elektromagnetlainete puhul näiteks elektrit juhtivalt plaadilt.

Oletame, et pealelangev laine liigub vasakule

$E_{1}=E_{01}sin(kx+wt+\epsilon _{1})$

langeb peegeldavale pinnale kohas $x=0$ning peegeldub tagasi kujul:

$E_{2}=E_{02}sin(kx-wt+\epsilon _{2})$

Algse faasi $\epsilon _{1}$saab arvestada nulliks, kui alustame aja mõõtmist hetkel, kui $E_{1}=E_{01}sin(kx)$

Summaarne laine peegeldavast pinnast paremal on $E=E_{1}+E_{2}$

Antud olukorras tulenevad võrrandile mõned piirangud katse füüsilisest olemusest. Selliseid piiranguid nimetatakse rajatingimusteks. Edasi arvestame rajatingimusi:

Näiteks, kui me vaatleme nööri, mille üks ots on kinnitatud seinale kohas $x=0$, siis selles punktis peab olema nihe tasakaaluasendist alati $0$. Teisisõnu peavad pealelangev ja peegelduv laine liituma nii, et tulemuseks saadud laine oleks $0$. Sarnaselt, perfektselt juhtiva plaadi pinnal peab tulemuseks saadud laine elektrivälja komponent olema $0$.

Seega, eeldades et $E_{01}=E_{02}=E_{0}$, nõuab rajatingimus, et kohas $x=0$ oleks summaarne laine $E=0$ iga t väärtuse jaoks. Kuna $\epsilon _{1}=0$, siis peab kohas $x=0$ ka $\epsilon _{2}=0$, ehk teisisõnu peavad $E_{1}$ ja $E_{2}$ kohal $x=0$ olema 180° erineva faasi juures, ehk $E_{1}=-E_{2}$, nullides teineteist igal ajahetkel t.

Summaarne lainet kirjeldav funktsioon on:

$E=E_{0}[sin(kx+\omega t)+sin(kx-\omega t)]$

Kasutades trigonomeetria valemit

$sin(\alpha )+sin(\beta )=2sin{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )cos{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )$

Saame seisulainet kirjeldavaks funktsiooniks:

$E(x,t)=2E_{0}sin(kx)cos(\omega t)$

Tuletatud seisulaine funktsioon

Erinevalt liikuva laine funktsioonist, ei liigu seisulaine kuju läbi ruumi, ehk ta pole kujul ƒ(x ± vt).

Igas punktis x = x′, on amplituudiks konstant väärtusega $2E_{0}sin(kx')$ ja punktis x' olev $E$ muutub harmooniliselt läbi $cos(\omega t)$. Teatud punktides nagu $x=0,{\frac {\lambda }{2}},\lambda ,{\frac {3\lambda }{2}},...$ on häiritus alati 0, need on seisulaine sõlmed. Täpselt iga sõlme keskel ehk$x={\frac {\lambda }{4}},{\frac {3\lambda }{4}},{\frac {5\lambda }{4}},...$ on paisud, kus on amplituudi väärtus $\pm 2E_{0}$. Teisiti vaadates on häiritus ka null väärtustel, kus $cos(\omega t)=0$, ehk kui $t={\frac {(2m+1)\tau }{4}}$, kus $m=0,1,2,3,...$ja $\tau$ on liituvate lainete periood.

Pikilainete seisulaine kujutamine helilaine näitel

Helilained on pikilained. Pikilainete seisulainete kujutamisel on alati tähtis märkida, millist suurust tähistatakse y-teljel.

Helilainete puhul on võimalik y-teljel näidata kas gaasi molekuli kaugust tasakaaluasendist või uuritavas punktis olevat rõhku.

Sõltuvalt y-telje valikust on näiteks võimalik, et toru kinnises otsas on ühel graafikul sõlm ja teisel graafikul pais, sest y-teljel olevad suurused võivad olla veerand perioodi nihkes.

Välislingid

• http://www.exo.net/~pauld/summer_institute/summer_day11sound/ringing%20_Al_rod.html. (31.05.18)
• http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/standingwaves/standingwaves.html. (31.05.18)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic (31.05.18)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave (06.06.18)
• http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html (11.06.18)