Ordonombro

En matematika aroteorio, la ordonombroj estas nombrosistemo kiu vastigas la sistemon de naturaj nombroj al senfine grandaj nombroj.

Notindas, ke ekzistas du malsamaj vastigoj de la naturaj nombroj al senfine grandaj nombroj:

Se oni rigardas naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finiaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la kvantonombrojn. Se, aliflanke, oni rigardas la naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finia ordigita aro, tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn.

Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la bone ordigitaj aroj, kiuj estas la ordigitaj aroj, ĉe kiuj ĉiu subaro havas plej malgrandan elementon.

Oni povas rigardi la ordonombrojn kiel ordotipojn de bone ordigitaj aroj. Origine oni identigis la ordotipojn kun la ekvivalentklasoj de ordigitaj aroj, kun izomorfieco kiel ekvivalento-rilato. Ĉar en la moderna aksioma aroteorio tiaj ekvivalentklasoj ne povas esti aroj, oni nuntempe preferas identigi la ordonombrojn kun la herede transitivaj aroj.

Kiel por aliaj nombrospecoj, por ordonombroj estas difinitaj operacioj de adicio, obligo kaj potencigo. Subtraho kaj divido ne estas difineblaj por la ordonombroj.

Unue la koncepton de ordonombroj enkondukis Georg Cantor en 1897 por priskribi senfinajn vicojn kaj klasigi arojn laŭ teorio de ordo. Pli detalajn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).

La finiaj ordonombroj (same kiel la finiaj kvantonombroj) estas naturaj nombroj (0, 1, 2, …), ĉar ĉiuj du ordoj de finia aro estas orde izomorfiaj. La plej malgranda senfina ordonombro ω estas identa kun plej malgranda senfina kvantonombro $\aleph _{0}$. Tamen, senfinaj ordonombroj post ω havas subtilan distingon, kiun kvantonombroj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu nombrebla senfina kvantonombro $\aleph _{0}$, estas senfine multaj nombreblaj senfinaj ordonombroj:

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

Malsimile al kvantonombroj kaj aliaj nombraj sistemoj, en ordonombroj adicio kaj obligo ne estas komutecaj. Ekzemple, 1 + ω estas ω, sed ne ω + 1, kaj, simile, 2·ω estas ω, sed ne ω·2. Povo de aro de ĉiuj nombreblaj ordonombroj estas la unua nenombrebla ordonombro ω₁, kiu estas identa kun kvantonombro $\aleph _{1}$ (la sekva post $\aleph _{0}$). Bone ordigitaj kvantonombroj estas identigataj kun komencaj ordonombroj, t.e. la plej malgrandaj ordonombroj kun tiu kvantonombro. La kvantonombro de ordonombro difinas ne-disĵetan surĵeton de la ordonombroj al la kvantonombroj.

Ĝenerale, ĉiu ordonombro α estas la ordotipo de la aro de ordonombroj rigore malpli grandaj ol α mem. Tiel ĉiu ordonombro povas esti reprezentita per aro de ĉiuj ordonombroj malpli grandaj ol ĝi mem. Oni povas klasigi la ordonombrojn jene: nulo, postanto-nombroj kaj limaj ordonombroj (de variaj samfinecoj). Se estas donita klaso de ordonombroj, oni povas difini la α-an membron de tiu ĉi klaso, t.e. oni povas numeri ilin. La klaso estas fermita kaj nebarita se ĝia indica funkcio estas kontinua kaj ne finiĝas. La Cantor-norma formo de ordonombro estas unika reprezentaĵo de iu ordonombro kiel finia sumo de ordonombraj potencoj de ω. Tamen, tiu ĉi notacio povas esti nekonsista pro tiaj memreferencaj reprezentaĵoj kiel $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$. Pli kaj pli grandaj ordonombroj povas esti difinitaj kaj ili iĝas pli kaj pli malfacile priskribeblaj.

Ĉiu ordonombro povas esti transformita al topologia spaco per orda topologio. Tiu topologio estu diskreta se kaj nur se la ordonombro estas identa kun nombrebla kardinalo, t.e. ne pli granda ol ω. Subaro ω + 1 estas malfermita en la orda topologio se kaj nur se ĝi estas kunfinia aŭ ne enhavas na ω.

Vastigo de naturaj nombroj

Oni povas rigardi naturan nombron (inkluzive nulon) laŭ du manieroj: kiel grando de aro aŭ kiel pozicio de aparta elemento en la aro. Por finiaj aroj tiuj du konceptoj kongruas, ĉar ekzistas nur unu maniero transformi aron al linia vico (krom izmorfismoj). Sed prizorgante nefiniajn arojn oni devas distingi inter nocio de grando (per kiu difiniĝas kardinalaj nombroj kaj nocio de pozicio, kiun ĝeneraligas ĉi-priskribata aro de ordonombroj. Tio okazas pro ke iu nefinia aro, havante nur unu "grandon" (povon), havas nefinie multe da neizomorfaj ordoj de si.

Dum la nocio kardinala nombro asociiĝas kun senstruktura aro, la nocio ordonombro estas ligita kun plene ordigitaj aroj - tiel proksime ligita, ke tiuj du nocioj ofte estas uzataj interŝanĝeble. Plene ordigitaj aroj estas tutece ordigitaj (t.e. por iuj du malsamaj elementoj unu estas pli granda ol alia) en kiu ne eblas nefinia malkreskanta vico (tamen, nefiniaj kreskantaj vicoj ĝenerale ekzistas). Krome, ĉiu ne malplena subaro de la aro havas almenaŭ unu elementon. Ordonombroj uzeblas por marki (numeri) elementojn de ĉiu plene ordigita aro (la plej malgranda elemento markiĝas kiel 0, poste 1, poste 2 ktp) kaj "longo" de la aro difiniĝas kiel la plej malgranda ordonombro, kiu ne estas marko de iu elemento de la aro. Tiu "longo" nomiĝas tipo de ordo.

Ĉiu ordonombro difineblas per la aro de antaŭaj ordonombroj. Fakte, plimulto de nune uzataj difinoj difinas ordonombron kiel aron de antaŭaj ordonombroj. Ekzemple, la ordonombro 42 estas difinebla kiel la aro de antaŭaj ordonombroj {0,1,2,…,41}. Pli ĝenerale, iu aro (S) de ordonombroj kiu estas malsupren-limigita (t.e. por ĉiu ordonombro α el S kaj ĉiu ordonombro β < α, β estas ankaŭ el S kaj estas (aŭ estas identa kun) ordonombro.

Ĝis nun ni nur menciis finiajn ordonombrojn, do naturajn nombrojn. Sed samkiel ekzistas senfinaj kvantonombroj, ekzistas senfinaj ordonombroj. La unua senfina ordonombro estas ω, kiu estas la ordotipo de la naturaj nombroj (finiaj ordonombroj) kaj identigeblas kun la aro de naturaj nombroj.

Grafika reprezentaĵo de la ordonombro ω². Ĉiu linieto respondas al ordonombro de formo ω·m+n kie m kaj n estas naturaj nombroj.

Eble oni povas ekhavi plian intuician komprenon de ordonombroj post pripenso de kelkaj unuaj el ili. Kiel supre-menciite, la aro komencas je naturaj nombroj (inkluzive nulon): 0, 1, 2, 3, … Post ĉiuj naturaj nombroj sekvas la unua transfinia ordonombro ω, kiun sekvas ω+1, ω+2, ω+3, ktp. (estas preciza difino de ordonombra adicio, sed nun oni povas pensi pri ĉi tiuj simboloj simple kiel nomoj). Post ĉiuj tiuj sekvas ω·2 (aŭ ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ktp. Poste, sammaniere, ekzistas la nombroj ω·3, ω·4, … La ordonombroj kiuj aperas ĉi-maniere - kiel ω·m+n, kie m kaj n estas naturaj nombroj - apartenas al iu aro. Tiu aro devas mem enhavi asociitan ordonombron, kaj tiu markiĝas kiel ω². Plue sammaniere difiniĝas ω³, poste ω⁴, ktp, ĝis ω^ω, poste, post sekva iteracio, na ω^ω², ktp ĝis ε₀ (epsilono nula), la plej malgranda ordonombro kiun oni ne povas esprimi kiel funkcio de ω uzante adiciojn, obligojn kaj potencigojn. Tiuj ĉiuj ankoraŭ estas relative malgrandaj (nombreblaj) ordonombroj. Tiel ni povas daŭrigi nefinie. Ordonombroj estas aparte taŭgaj por nefinie grandaj numeradoj: preskaŭ ĉiam, kiam oni diras "kaj tiel plu" numerante ordonombrojn, oni per tio jam difinas pli grandan ordonombron. La plej malgranda nenombrebla ordonombro estas aro de ĉiuj nombreblaj ordonombroj, markita per ω₁.

Vidu ankaŭ

• Numero
• Kvantonombro
• Lima ordonombro