Konischer Grenzpunkt
In der Mathematik, spezieller in der Theorie der Kleinschen Gruppen werden gewisse Grenzpunkte als konische Grenzpunkte bezeichnet. Nach dem Satz von Beardon-Maskit ist eine Kleinsche Gruppe genau dann geometrisch endlich, wenn jeder Grenzpunkt entweder ein konischer Grenzpunkt oder ein parabolischer Fixpunkt ist.
Sei eine Kleinsche Gruppe, d.h. eine diskrete Gruppe von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes .
Die Limesmenge oder Grenzmenge einer Kleinschen Gruppe ist eine Teilmenge der riemannschen Zahlenkugel, definiert als der Durchschnitt des Randes im Unendlichen mit dem Abschluss einer Bahn wobei ein Punkt des hyperbolischen Raumes ist. Diese Definition ist unabhängig vom gewählten Punkt und die Punkte der Limesmenge heißen Grenzpunkte von . Die Grenzpunkte sind also Häufungspunkte von in .
Ein Grenzpunkt heißt konischer Grenzpunkt, wenn es eine in endende Geodäte und ein gibt, so dass ein Häufungspunkt von ist, wobei , die -Umgebung von bezeichnet. Die Definition ist unabhängig von der Wahl von und .
Die Menge der konischen Grenzpunkte wird als konische Limesmenge bezeichnet. Sie ist eine -invariante messbare Menge.
Jeder Fixpunkt einer loxodromischen Isometrie ist ein konischer Grenzpunkt. Konische Grenzpunkte sind insbesondere horosphärische Grenzpunkte, d.h., jede Horosphäre um den Grenzpunkt hat nichtleeren Durchschnitt mit .
Nach dem Satz von Beardon-Maskit ist eine Kleinsche Gruppe genau dann geometrisch endlich, wenn jeder Grenzpunkt entweder ein konischer Grenzpunkt oder ein parabolischer Fixpunkt (Fixpunkt einer parabolischen Isometrie) ist.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- K. Matsuzaki, M. Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ix, 253 p. (1998).