Exponentialsumme

Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

$S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)$

für ein $N\in \mathbb {N}$, wobei $f:[1,N]\to \mathbb {R}$ eine (üblicherweise glatte) Funktion und $e(x):=e^{2\pi ix}$ ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist $f$ ein reelles Polynom, so bezeichnet man $S_{f}(N)$ auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.

Eigenschaften

Die Funktion $e(x)$ nennt man additiver Charakter auf $\mathbb {R}$, $f$ nennt man Amplitudenfunktion und $N$ Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

$S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)$

notiert, wobei $f$ nun auf dem Interval $[M+1,M+N]$ definiert sein muss.

Komplexe Verallgemeinerung

Exponentialsummen können für eine reelle Folge $(a_{n})_{1\leq n\leq N}$ auch auf

$\sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)$

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition der Exponentialsumme mit einer komplexen Funktion $g:[1,N]\to \mathbb {C}$, denn es gilt

$e(g(n))=e^{2\pi ig(n)}=e^{2\pi i\operatorname {Re} (g(n))-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}$

und somit gilt

$a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}.$

Noch allgemeiner definiert man

$S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)$

für eine beliebige komplex-wertige Funktion $\Phi$ und eine reell-wertige Funktion $F$.

Geschichte

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1). 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.

1921 und 1922 veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935 und 1936 veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen. Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen. Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

Literatur

• Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227. 
• Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983.