Diskussion:Natürliche Zahl

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Einführung der natürlichen Zahlen nach Russell (historisch)

Unter diesem Untertitel stand bisher folgender Passus im Artikel:

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz von Bertrand Russell ist aus heutiger Sicht als Definition der natürlichen Zahlen aufgrund von mengentheoretischen Schwierigkeiten unbrauchbar. Beispielsweise ist die unten definierte natürliche Zahl 1 keine Menge, sondern eine echte Klasse; infolgedessen ist es unmöglich, über die Gesamtheit der so definierten natürlichen Zahlen zu sprechen, da echte Klassen selbst weder Elemente von Mengen noch von Klassen sein können.

Die natürlichen Zahlen können jeweils als Gesamtheit der Objekte der jeweiligen Kardinalität definiert werden. So definiert Russell zunächst:

• Eine Menge wird einer anderen Menge äquivalent genannt, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, deren Bereich aus der einen Menge besteht, während die andere Menge den inversen Bereich bildet.

Es gelten für diesen Äquivalenzbegriff die Äquivalenzeigenschaften, so dass die auf diese Weise entstehenden Äquivalenzklassen als Repräsentanten für die natürlichen Zahlen dienen können:

• Die Zahl einer Menge ist die Menge aller ihr äquivalenten Mengen.

Mit diesem Zahlbegriff sind sogar beliebige Kardinalitäten von Mengen beschrieben. (Heute nennt man diese Zahlen Kardinalzahlen.) Für die natürlichen Zahlen müssen wir uns auf die endlichen Mengen beschränken. Die endlichen Mengen fasst Russell schrittweise zusammen:

• Die Zahl 0 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. (Man bedenke: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen vorkommt und umgekehrt. Daher gibt es nur eine einzige leere Menge.)

Russell definiert jetzt Nachfolger und Vorgänger von Zahlen:

• Sei $A$ eine Menge und $x$ ein Element, das in $A$ nicht vorkommt. Der Nachfolger der Zahl der Elemente von $A$ ist die Zahl der Elemente von $A\cup \{x\}$.
• Sei $A$ eine nichtleere Menge und $x$ ein Element von $A$, dann heißt die Zahl der Elemente von $A\setminus \{x\}$ der Vorgänger von der Zahl von $A$.

Damit hat Russell jetzt das notwendige Handwerkszeug zusammen und kann definieren, was die endlichen Zahlen sind:

• a) 0 ist endlich.
• b) Eine Zahl ungleich 0 ist endlich, wenn sie einen Vorgänger hat, der endlich ist.

(Diese Definition endlicher Mengen ist aus heutiger Sicht nicht haltbar, da ihre Präzisierung entweder den Begriff der natürlichen Zahl verwenden oder eine mengentheoretisch unzulässige Konstruktion verwenden muss. Dies ließe sich jedoch durch Verwendung des Begriffes der Dedekind-Endlichkeit umgehen.)

Schließlich legt Russell fest:

• Eine natürliche Zahl ist etwas, was Zahl einer endlichen Menge ist.

Die Erläuterungen Russells gehen im Wesentlichen auf Gottlob Freges „Grundlagen der Arithmetik“ (1884) zurück; anstatt von „Mengen“ zu sprechen, bezieht sich Frege darin auf „Begriffsumfänge“.

Aus folgenden Gründen verlagere ich diesen Abschnitt bis zur einer Verbesserung oder einem adäquaten Ersatz in die Diskussion:

• Ein Konzept das heute unbrauchbar ist, wie es im Abschnitt korrekt bewertet wird, belastet den Artikel unnötig.
• Das Konzept stammt nicht von Russell, sondern von Frege, was am Ende erst bemerkt wird. Wenn schon historisch, dann historisch richtig und Freges Konzept darstellen.
• Wenn aber die historische Komponente in den Artikel kommen soll, was ich ausdrücklich begrüße, müsste zuerst eine historische Übersicht her, die die Entstehung verschiedener Konzepte der natürlichen Zahlen berücksichtigt und diese charakterisiert. Hier müsste zum Beispiel das heute noch brauchbare Konzept von Dedekind her, das wie ich gelesen habe, angeblich älter sein soll, als das von Frege. Wichtig wäre auch das pythagoreische Konzept nach Euklid, weil es schon viele wichtige formale Ansätze hat.
• Der Artikel zur vollständigen Induktion enthält einen Abschnitt, der andere Konzepte kurz streift: vollständige Induktion#Herleitung. Solche äquivalenten Konzepte gehören in den Artikel. Sie haben alle eine historische Komponente.

--Wilfried Neumaier 22:55, 9. Jul. 2010 (CEST)

Randbemerkungen

Unzureichend sind auch folgende Randbemerkungen, die zum Teil in früheren Diskussionspunkten schon kritisiert wurden. Sie gehören auch zu den alternativen Konzepten, die noch ausgearbeitet werden müssen. Daher stelle ich sie auch hierher, bis daraus etwas Vernünftiges wird:

1. Ersetzt man das Induktionsaxiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.
2. Russell wies darauf hin, dass mit dem Axiomensystem jedes beliebige abzählbare Zahlensystem definierbar ist (z. B. 7/16 als 0 und die Addition von 1/16 als Nachfolger-Operation).
3. Die Peano-Axiome lassen sich gemäß Freges Theorem von Humes Prinzip ableiten, was die Grundlage des Neo-Logizismus ist.

--Wilfried Neumaier 23:03, 9. Jul. 2010 (CEST)

zu 1.: das ist doch keine "Peano-Arithmetik", weil Peanos Arithmetik eben das Induktionsaxiom hat. Siehe Diskussion im verlinkten Artikel, der meines Erachtens gelöscht werden sollte. Man kann doch nicht einfach etwas unter einem Namen laufen lassen, was ganz und gar nicht im Namen des Erfinders ist. Peano hatte als Rahmen eine Klassenlogik und keine Prädikatenlogik zweiter Stufe und erst recht nicht eine erster Stufe. Er wäre nie auf den Gedanken gekommen ein Axiomensystem erster Stufe zu formulieren.

Das heißt aber nun mal in der Fachliteratur so. Man kann doch nicht einfach einen etablierten mathematischen Begriff ändern oder gar abschaffen. Und ich bin sicher, dass viele Begriffe in und außerhalb der Mathematik nicht unbedingt im Sinne ihres Namensgebers sind. -- Digamma 10:41, 10. Jul. 2010 (CEST)

Ich diskutiere zu 1. weiter auf der Seite Diskussion:Peano-Arithmetik.--Wilfried Neumaier 14:06, 10. Jul. 2010 (CEST)

zu 2.: Zu Peanos Arithmetik gehören auch seine Definitionen. Wenn man den Weg bis zur Definition von 1/16 geht, erhält man 1≠1/16. Man kann doch nicht einfach die Definitionen unterschlagen. Sie gehören immer automatisch zu einen Konzept dazu.

zu 3.: Hier wird etwas hingeknallt ohne Erklärung! Das darf in einem guten Artikel nicht sein. --Wilfried Neumaier 09:47, 10. Jul. 2010 (CEST)

Wie darf dieser Satz verstanden werden?

Hallo!

Im Artikel über die natürlichen Zahlen im Abschnitt "Bezeichnungskonventionen" im letzten Absatz steht folgender Satz:

Die DIN-Norm 5473 verwendet zum Beispiel \mathbb N für die nichtnegativen ganzen Zahlen und \mathbb N^* für die positiven ganzen Zahlen.

Diese Formulierung ist etwas schief, denn in beiden Teilen geht's um die positiven Zahlen!?

Wie darf man es verstehen?

Gruß (nicht signierter Beitrag von 79.253.1.239 (Diskussion) 19:29, 22. Okt. 2013 (CEST))

Hallo! Bei den nichtnegativen ist die Null mit dabei, bei den positiven nicht (0 ist weder positiv noch negativ). -- HilberTraum (Diskussion) 19:54, 22. Okt. 2013 (CEST)

Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen

@Arilou: Deine Änderungen am Abschnitt "Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen" sind eine Verschlechterung. In der Mengenlehre werden die "Zahlen" in von Neumanns Modell tatsächlich als Zahlen 1, 2, 3, ... bezeichnet. Die Menge $\emptyset$ heißt demnach "0", die Menge $\{\emptyset \}$ heißt "1" und so weiter. Deshalb ist "$n$" auch eine Menge und die Menge "$n+1$" erhält man, indem man der Menge "$n$" diese Menge nochmal als Element hinzufügt, also als Vereinigung der Menge $n$ mit der Einermenge $\{n\}$, also $n+1=n\cup \{n\}$. Das steht so in jedem Mengenlehrebuch. Ich habe deshalb deine letzten Änderungen rückgängig gemacht. --Digamma (Diskussion) 21:06, 16. Okt. 2014 (CEST)

Dazu ertmal Zustimmung. Ungünstig finde ich aber, dass der Begriff "Nachfolger" erst in diesem Abschnitt auftritt. Unvermittelt wird einfach ein Strich an die Null, die Eins, die Zwei oder an n gehangen. Mindestens im Abschnitt Axiomatisierung müßte man das vorbereiten. Eigentlich aber schon eher. Die Natürlichen Zahlen kommen ja vom "Zählen" und daraus ergibt sich ja das Nachfolger-bilden-Prinzip. --B-greift (Diskussion) 22:18, 16. Okt. 2014 (CEST)

Das stimmt. Das ist wohl bei der Auslagerung der Axiome in eigene Artikel verloren gegangen. --Digamma (Diskussion) 23:47, 17. Okt. 2014 (CEST)

Ursprüngliche habe ich versucht, die "Zahlen" in der <math>-Umgebung in Anführungszeichen zu setzen - bin daran aber verzweifelt: <math> ist nur eine sehr beschränkte Teilmenge von (La)TeX, sonst wär' ich mit „1“ , „2“ , „3“ , „n“ vollauf zufrieden gewesen - irgend einer Andeutung, dass das Mengen-Namen sein sollen, und nicht Natürliche Zahlen.

(Sieht einfach sch**ße aus, $n\cup \{n\}$ ~ als ob jemand die Zahl n mit der Ein-Element-Menge von Zahl n per Mengenoperation "vereinen" wolle.)

Nuja, zumindest mein (n+1) durfte bleiben...

Vielleicht fällt ja jemand anderem eine Idee ein, wie man andeuten kann, dass 1, 2, 3, n hier nicht Zahlen, sondern Mengennamen sein sollen (und $(n+1)=n\cup \{n\}$ was sinnvolles darstellt).

--arilou (Diskussion) 09:04, 17. Okt. 2014 (CEST)

Ich glaube, du verstehst das falsch. In der Mengenlehre sind alle mathematischen Objekte Mengen. Die von von Neumann angegebenen Mengen sind dann die natürlichen Zahlen. Andere natürliche Zahlen, die keine Mengen wären, gibt es in der Mengenlehre nicht. Das von-Neumannsche Modell der natürlichen Zahlen ist teil des Programms, alle mathematischen Objekte als Mengen darzustellen, damit prinzipiell die gesamte Mathematik auf die Mengenlehre zurückgeführt werden kann. Dahinter steckt u.a. Hilberts Programm, das nachweisen sollte, dass die Mathematik widerspruchsfrei ist. Kann man die gesamte Mathematik auf die Mengenlehre zurückführen, dann genügt es, zu zeigen, dass die Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind.

Dahinter steckt auch der Versuch von Logikern (z.B. Frege), mathmatische Begriffe (insbesondere den der Zahl) auf Begriffe der Logik zurückzuführen um zu klären, von welcher Natur mathematische Objekte überhaupt sind. In diesem Sinn wurde z.B. die Zahl "2" aufgefasst als "der Inbegriff" aller zweielementigen Mengen. Mathematischer ausgedrückt: die Menge aller zweielementigen Mengen. Nur hat sich leider herausgestellt, dass dieser Begriff in sich widersprüchlich ist (vgl. Russellsche Antinomie), so dass von Neumann eben auf die Idee kam, statt dessen die Zahl "2" als eine ganz bestimmte zweielementige Menge zu definieren. Aber eben definieren, nicht einfach nur beschreiben oder darstellen. --Digamma (Diskussion) 17:25, 17. Okt. 2014 (CEST)

Und irgend wie ist in der Mathematik alles was wir schreiben Name für etwas. Also 1, 2, 3 sind Namen für Zahlen. Wenn wir jetzt Zahlen als Mengen auffassen, ändert sich daran nichts. Normalerweise ist beim Gebrauch eines Namens immer das Objekt gemeint, das es bezeichnet. Ein Ausnahme ist die Definition eines Namens. Schreiben wir z.B. $3:=\{0,1,2\}$ ist links der Name gemeint, den wir definieren, recht sind es aber die benannten Objekte (hier Mengen, die wir als Zahlen sehen). So ist es auch bei Programmiersprachen. --B-greift (Diskussion) 20:17, 17. Okt. 2014 (CEST)

Bezeichnungskonventionen -- Was heißt wie

Liebe Wikipedianer,

"Be_zeich_nungs_kon_vent_io_nen" hat sie_ben Silben.

"Was heißt wie" hat drei Silben.

Sollte das nicht ein Motto von Wikipedia werden:

Weniger Silben sagen (oft) mehr (aus)?

Eine Anregung zum Nachdenkenken von

Hans Rosenthal (nicht signierter Beitrag von 79.238.163.45 (Diskussion) 01:48, 16. Sep. 2015 (CEST))

Ähm - ""Be_zeich_nungs_kon_ven_ti_o_nen" hat acht Silben.

Nur so als Anmerkung. --arilou (Diskussion) 14:29, 23. Sep. 2015 (CEST)

Lieber Arilou, wo Du recht hast, hast Du recht! Danke für den Hinweis. Also 8 zu 3 Silben -- ein Grund mehr, die Wikipedia einmal auf die "Sprachökonomie" und Verständlichkeit hin zu verbessern. Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 62.156.52.165 (Diskussion) 19:54, 16. Okt. 2015 (CEST))

Der Einleitungssatz in der Wikipedia und was danach folgt

Ein typischer Satz zur Einleitung in einen Wikipedia-Artikel (meist an oberster Stelle) lautet:

"Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, ..."

Niemand sollte diesen einleitenden Satz in welchem Wikipedia-Artikel auch immer mit einer Definition verwechseln.

Vielleicht wird es an dem Wikipedia-Artikel zum Stichwort "Tod" ganz deutlich, was ich meine:

"Der Tod ist der endgültige Verlust der für ein Lebewesen typischen und wesentlichen Lebensfunktionen."

Gleich danach, im ersten Abschnitt, heißt es "Die Schwierigkeit einer Definition" -- und sofort wird klar: Der einleitende Satz ist keine Definition, sondern eine Beschreibung dessen, was wir mit dem Begriff "Tod" zuerst verbinden. Es ist oft nicht möglich, eine klare Definition von etwas zu geben. Stattdessen wird in Enzyklopädien zuerst auf ein wesentlichen Merkmal des zu beschreibenden Begriffes Bezug genommen.

Definitionen gibt es recht eigentlich nur in der Mathematik. Du kannst deshalb Definitionen auch nur in Mathematikbüchern erwarten. Alles andere wäre zu viel verlangt.

Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 79.238.162.177 (Diskussion) 00:22, 9. Jan. 2016 (CET))

lichtes N

Was is denn ein lichtes N ? (nicht signierter Beitrag von 141.76.119.134 (Diskussion) 17:29, 5. Feb. 2016 (CET))

siehe Natürliche_Zahl#Bezeichnungskonventionen --Röhrender Elch (Diskussion) 00:24, 9. Feb. 2016 (CET)

Ich habe die Stelle auf den Artikel Buchstabe mit Doppelstrich verlinkt. -- HilberTraum (d, m) 20:43, 14. Feb. 2016 (CET)

Ich habe auch eine Frage zum lichten N. Beim gedruckten Buchstaben steht der Doppelstrich beim schrägen Strich in der Mitte. Ich meine mich zu erinnern, dass wir in der Schule den linken Strich doppelt geschrieben hätten. Täuscht mich meine Erinnerung oder schreibt man es i.d.R. so? (Auch bei anderen Zeichen unterscheiden sich ja bei vielen Schriftarten Gedrucktes und Geschriebenes, bspw. a oder g.) Vielen Dank im Voraus. Gruß, --2A02:810B:19A0:2440:8077:C3C7:78E3:C6BD 21:39, 2. Sep. 2023 (CEST)

Das ist ziemlich egal. Es ist einfacher, den linken Strich doppelt zu schreiben als den Schrägstrich. Die Buchstaben mit Doppelstrich stammen ursprünglich von fetten Druckbuchstaben ab; da wird der Schrägstrich fett gedruckt. --Digamma (Diskussion) 11:37, 4. Sep. 2023 (CEST)

"In Unicode hat das Zeichen den Codepoint U+2115 (ℕ)." -- Was heißt das? -- Hans Rosenthal (A.H.R.D.)

"In Unicode hat das Zeichen den Codepoint U+2115 (ℕ)."

Was heißt das? Wann immer ich eine solche Aussage in einem Artikel der Wikipedia lese, denke ich: Für wen machen wir diese Enzyklopädie? Für Menschen die Lesen können. Nicht für Menschen mit besonderem Wissen. Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 62.156.63.170 (Diskussion) 03:44, 12. Mär. 2016 (CET))

Ich denke, die Information, dass in der Unicode-Tabelle extra ein Zeichen für die Menge der natürlichen Zahlen vorgesehen ist, sowie welches genau, ist durchaus eine sinnvolle Aussage im Artikel.

Was "besonderes Wissen" ist und was nicht, ist POV.

--arilou (Diskussion) 16:28, 29. Mär. 2016 (CEST)

Ich denke, es geht Hans Rosenthal darum, dies verständlicher auszudrücken. --Digamma (Diskussion) 14:52, 30. Mär. 2016 (CEST)

Direkt zu Beginn von "Bezeichnungskonventionen" sind alle etwas weniger alltägliche Begriffe verlinkt. Ich sehe keinen Handlungsbedarf. Wie mein Physik-Professor immer schon sagte: "Es ist keine Schande, mal etwas nicht zu wissen, vorrausgesetzt, man weis, wo es geschrieben steht." Also: Blaulink anklicken und lesen. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 10:39, 4. Sep. 2023 (CEST)

Wegfall des letzten Peano-Axioms

Im Artikel steht:

»Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion (Wegfall des fünften Peano-Axioms bzw. Zulassung von weiteren Zahlen ohne Vorgänger) ergibt die Ordinalzahlen.«

Bei Wegfall des Induktionsaxioms können doch auch zyklische »Parallelstrukturen« und solche mit unendlicher Vergangenheit entstehen. Ist z.B. a'=b, b'=c und c'=a, dann erfüllt $\mathbb {N} \cup \{a,b,c\}$ doch die restlichen Peano-Axiome. Kann die Klasse der Ordinalzahlen solche Strukturen enthalten?--Rumil (Diskussion) 15:19, 24. Feb. 2018 (CET)

Du hast recht, das stimmt so nicht. Bei den Ordinalzahlen wird das Induktionsaxiom nicht einfach weggelassen, sondern durch ein Wohlordnungsaxiom ersetzt. --Digamma (Diskussion) 21:11, 24. Feb. 2018 (CET)