Teoria de cossos de classes
 |
Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets. |
En matemàtiques, la teoria de cossos de classes és una branca essencial de la teoria de nombres algebraics que té per objecte la classificació de les extensions abelianes, o ja sigui, les galoisianae i grups de Galois commutatius, d'un cos donat. Més precisament, tracta la manera de descriure i construir aquestes extensions en termes de propietats aritmètiques del propi cos bàsic.
Descripció general
[modifica]Tradicionalment comprenia l'estudi de les extensions abelianes, és a dir, de les extensions de Galois el grup de les quals de Galois és abelià, per a aquest cas la teoria es va desenvolupar durant 1850-1930. En el cas de les extensions no abelianes, els primers resultats importants van començar a obtenir-se fa 25 anys i formen part del programa de Langlands.
Gran part de la recerca en el cas abelià se centra en el famós Jugendtraum de Kronecker, és a dir, el desig de trobar funcions capaces de generar l'extensió abeliana maximal per a cada cos numèric. (Si el camp és Q, les funcions generadores són les funcions ciclotòmiques exp(iσ).)
Sigui K un cos numèric. El grup de Galois de l'extensió abeliana maximal és un grup topològic compacte abelià de grau infinit sobre K. Kronecker va demostrar que, quan K és el cos dels nombres racionals, aquest grup és un producte infinit del grup additiu dels sencers p-àdics pres sobretot nombre primer p, i d'un producte infinit de grups cíclics finits. La generalització d'aquest teorema va ser resultat d'un gran projecte històric que va incloure a les formes quadràtiques i la seva teoria de gènere, les lleis de reciprocitat, la teoria d'ideals, extensions ciclotòmiques i de Kummer.
Iniciant amb la tesi de Tate en els anys cinquanta, tots els resultats van ser reescrits en termes de la cohomologia de grups. Després va haver un període de quiescència que va ser bruscament interromput en els seixantes per les conjectures de Langlands.
Referències
[modifica]- Georges Gras, Class Field Theory: From Theory to Practice
- Jürgen Neukirch, Algebraic number theory
Enllaços externs
[modifica]- Teoria de cossos de classes Arxivat 2017-06-22 a Wayback Machine.. Carlos Ivorra Castillo - Universitat de València.