Llista de grups petits

Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.

Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

Terminologia

El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.

• C_n: el grup cíclic d'ordre n (es correspon amb el grup additiu de ℤ/nℤ, denotat de vegades ℤ_n).
• D_n: el grup dièdric d'ordre 2n (de vegades s'usa la notació D_2n o D_2,n)
• S_n: el grup simètric que conté les n! permutacions d'un conjunt de n elements.
• A_n: el grup alternat amb les n!/2 permutacions de S_n que tenen signe parell.
• Dic_n: el grup dicíclic d'ordre 4n.

La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gⁿ indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. $G\rtimes H$ vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.

S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics C_n, per a n primer).

L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.

A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

Llista de grups abelians petits

Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.

Ordre	Grup	Subgrups	Propietats	Graf dels cicles
1	grup trivial = C1 = S1 = A₂	-	trivialment té propietats diverses	Graf dels cicles per al grup trivial
2	C₂ = S₂ = D1	-	simple, el grup no trivial més petit	Graf dels cicles per al grup C2
3	C₃ = A₃	-	simple	Graf dels cicles per al grup C3
4	C₄	C₂		Graf dels cicles per al grup C4
	Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂	C₂ (3)	el grup no cíclic més petit	Graf dels cicles per al grup de Klein D2
5	C₅	-	simple	Graf dels cicles per al grup C5
6	C₆ = C₃ × C₂	C₃, C₂		Graf dels cicles per al grup C6
7	C₇	-	simple	Graf dels cicles per al grup C7
8	C₈	C₄, C₂		Graf dels cicles per al grup C8
	C₄ × C₂	C₂², C₄ (2), C₂ (3)		Graf dels cicles per al grup C4 × C2
	C₂3	C₂² (7), C₂ (7)		Graf dels cicles per al grup C2^3
9	C9	C₃		C9
	C₃²	C₃ (4)		Graf dels cicles per al grup C3^2
10	C10 = C₅ × C₂	C₅, C₂		C10
11	C11	-	simple	C11
12	C₁₂ = C₄ × C₃	C₆, C₄, C₃, C₂		C12
	C₆ × C₂ = C₃ × C₂²	C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂²		Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2
13	C13	-	simple	C13
14	C14 = C₇ × C₂	C₇, C₂		C14
15	C15 = C₅ × C₃	C₅, C₃		C15
16	C16	C₈, C₄, C₂		C16
	C₂4	C₂ (15), C₂² (35), C₂3 (15)		Graf dels cicles per al grup C2^4
	C₄ × C₂²	C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂3, C₄ × C₂ (6)		Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2
	C₈ × C₂	C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂		Graf dels cicles per al grup C8 × C2
	C₄²	C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3)		Graf dels cicles per al grup C4^2

Llista de grups no abelians petits

Ordre	Grup	Subgrups	Propietats	Graf dels cicles
6	S₃ = D₃	C₃, C₂ (3)	el grup no abelià més petit	S3
8	D₄	C₄, C₂² (2), C₂ (5)		D4
	Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂	C₄ (3), C₂	el grup hamiltonià més petit	Grup dels quaternions Q8
10	D₅	C₅, C₂ (5)		D5
12	D₆ = D₃ × C₂	C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7)		D6
	A₄	C₂², C₃ (4), C₂ (3)	el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.)	A4
	Dic₃ = $C_{3}\rtimes C_{4}$	C₂, C₃, C₄ (3), C₆		Dic3
14	D₇	C₇, C₂ (7)		D7
16	D₈	C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9)		D8
	D₄ × C₂	D₄ (2), C₄ × C₂, C₂3 (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11)		D4 × C2
	Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic₄			Grup generalitzat dels quaternions Dic4
	Q₈ × C₂		grup hamiltonià	Q8 × C2
	El grup quasidièdric d'ordre 16			Grup quasidièdric d'ordre 16
	El grup d'Iwasawa d'ordre 16			grup d'Iwasawa d'ordre 16
	$C_{4}\rtimes C_{4}$			C4 ⋊ C4
	El grup generat per les matrius de Pauli			grup generat per les matrius de Pauli
	G4,4 = $C_{2}^{2}\rtimes C_{4}$			C2^2 ⋊ C4

Llibreria de grups petits

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment aquesta llibreria conté els grups següents:

• Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
• Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
• Els d'un ordre lliure de quadrats.
• Els d'ordre pⁿ per a n fins a 6 i p un nombre primer.
• Els d'ordre p⁷ per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
• Els d'ordre qⁿ⋅p on qⁿ divideix 2⁸, 3⁶, 5⁵ o 7⁴ i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
• Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

Vegeu també

• Grup (matemàtiques)
• Introducció a la teoria de grups
• Teoria de grups
• Grup finit
• Grup abelià finit
• Grup simple
• Llista de grups finits simples

Enllaços externs

• Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès). Arxivat de l'original el 2006-12-05. [Consulta: 14 febrer 2010].
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
• Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.»