Proširena matrica

U linearnoj algebri, proširena matrica je matrica dobivena dodavanjem kolona dvije date matrice, obično iz razloga izvršenja istih elementarnih operacija na svakoj od datih matrica.

Date su matrice A i B, gdje je

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},$

pa je proširena matrica (A|B) napisana kao

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$

Proširena matrica se također može koristiti da se pronađe inverzna matrica kombinacijom proširene i jedinične matrice.

Primjeri

Inverzna matrica

Neka C bude kvadratna matrica 2×2

$C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

Da bi našli inverz od C pravimo (C|I) gdje je I jedinična matrica 2×2. Zatim se reducira dio (C|I) oji odgovara C do jedinične matrice korištenjem elementarnih operacija sa redovima na (C|I).

$(C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$,

gdje je desni dio inverz od originalne matrice.

Postojanje i broj rješenja

Zamislimo sistem jednačina

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

Koeficijent matrice je

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

dok proširena matrica glasi

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

Pošto obje imaju isti rang, koji iznosi 2, postoji najmanje jedno rješenje; pošto je njihov rang manji od broja nepoznatih, kojih ima tri, postoji beskonačan broj rješenja.

U suprotnosti, zamislimo sistem

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5.

Koeficijent matrice je

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

dok proširena matrica glasi

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

U ovom primjeru, matrica koeficijenata ima rang 2, dok proširena matrica ima rang 3; tako da ovaj sistem jednačina nema rješenja.

Reference

• Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Stranica 31.