David Hilbert
David Hilbert (23 de xineru de 1862, Kaliningráu – 14 de febreru de 1943, Göttingen) foi un matemáticu alemán, reconocíu como unu de los más influyentes del sieglu XIX y principios del XX. Estableció la so reputación como gran matemáticu y científicu inventando o desenvolviendo un gran abanicu d'idees, como la teoría de invariantes, l'axiomatización de la xeometría y la noción d'espaciu de Hilbert, unu de los fundamentos del analís funcional. Hilbert y los sos estudiantes apurrieron partes significatives de la infraestructura matemática necesaria pa la mecánica cuántica y la relatividá xeneral. Foi unu de los fundadores de la teoría de la demostración, la lóxica matemática y la distinción ente matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conxuntos y los númberos transfinitos de Cantor. Un exemplu famosu del so lideralgu mundial na matemática ye la so presentación en 1900 d'un conxuntu de problemes qu'establecieron el cursu de gran parte de la investigación matemática del sieglu XX.
Nel bracéu por demostrar correutamente dalgunos de los errores cometíos por Einstein, na teoría xeneral de la relatividá, David Hilbert adelantrar a les correiciones d'Einstein, sicasí nunca quixo otorgase'l méritu.[12]
Vida
[editar | editar la fonte]Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningráu, Rusia). Graduar nel llicéu de la so ciudá natal y matriculóse na Universidá de Königsberg (Albertina). Llogró'l so doctoráu en 1885, con una disertación, escrita so supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sobre les propiedaes invariantes de formes binaries especialessobremanera les funciones circulares). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert na mesma universidá y momentu como doctorando, y aportaron a amigos íntimos, exerciendo unu sobre l'otru una influencia recíproca en dellos momentos de les sos carreres científiques.
Hilbert permaneció como profesor na Universidá de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultáu de la intervención nel so nome de Felix Klein, llogró'l puestu de Catedráticu de Matemática na Universidá de Göttingen, que naquel momentu yera'l meyor centru d'investigación matemática nel mundu, onde permanecería'l restu de la so vida.
El teorema de finitud
[editar | editar la fonte]El primer trabayu de Hilbert sobre funciones invariantes llevólu en 1888 a la demostración nel so famosu teorema de finitud. Venti años enantes, Paul Gordan demostrara'l teorema de la finitud de xeneradores pa formes binaries usando un complexu enfoque computacional. Los intentos de xeneralizar esti métodu a funciones con más de dos variables fallaron pola enorme dificultá de los cálculos implicaos. Hilbert diose cuenta de que yera necesariu siguir un camín dafechu distintu. Como resultancia, demostró'l teorema fundamental de Hilbert: amosar la esistencia d'un conxuntu finito de xeneradores, pa les invariantes cuántiques en cualquier númberu de variables, pero de forma astracta. Esto ye, demostró la esistencia de dichu conxuntu, pero non de forma algorítmica sinón por aciu un teorema d'esistencia.
Hilbert unvió les sos resultaos a los Mathematische Annalen. Gordan, l'espertu en teoría de invariantes de los Annalen, nun foi capaz d'apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y refugó l'artículu, criticando la esposición porque yera insuficientemente comprensiva. El so comentariu foi: «Esto ye teoloxía, ¡non matemática!»
Klein, per otru llau, reconoció la importancia del trabayu y aseguróse de que fora publicáu ensin alteraciones. Animáu por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert estendió'l so métodu nun segundu artículu, apurriendo estimaciones sobre'l grau máximu del conxuntu mínimu de xeneradores, y unviar una vegada más a los Annalen. En lleendo'l manuscritu, Klein escribiólu, diciendo: «Ensin dulda ésti ye'l trabayu más importante n'álxebra xeneral que los Annalen publicaron nunca». Más palantre, cuando la utilidá del métodu de Hilbert fuera reconocida universalmente, el mesmu Gordan diría: «He d'almitir qu'inclusive la teoloxía tien los sos méritos».
Axiomatización de la xeometría
[editar | editar la fonte]El testu Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la xeometría), que Hilbert publicó en 1899, sustitúi los tradicionales axomes de Euclides por sistema formal de 21 axomes. Eviten les debilidaes identificaes nos d'Euclides, que la so obra clásica Elementos siguía siendo usada como llibru de testu naquel momentu.
L'enfoque de Hilbert marcó'l cambéu al sistema axomáticu modernu. Los axomes nun se tomen como verdaes evidentes. La xeometría puede tratar de coses, sobre les que tenemos intuiciones poderoses, pero nun ye necesariu asignar un significáu esplícitu a los conceutos indefiníos. Como diz Hilbert, los elementos tales como'l puntu, la recta, el planu y otros, pueden sustituyise con meses, sielles, jarras de cerveza y otros oxetos. Lo que s'alderica y desenvuélvese son les sos rellaciones definíes.
Hilbert empieza numberando los conceutos ensin definición: puntu, recta, planu, incidencia (una rellación ente puntos y planos), tar ente, congruencia de pares de puntos y congruencia d'ángulos. Los axomes unifiquen la xeometría plana y la sólida de Euclides nun únicu sistema.
Los 23 problemes
[editar | editar la fonte]Hilbert propunxo una llista bien influyente de 23 problemes ensin resolver nel Congresu Internacional de Matemáticos de París en 1900. Reconocer de forma xeneral qu'esta ye la escoyeta de problemes abiertos más esitosa y de fonda considerancia producida nunca por un únicu matemáticu.
En reescribiendo los fundamentos de la xeometría clásica, Hilbert podía habelo extrapolado al restu de les matemátiques. Esti enfoque difier, sicasí, de los posteriores «loxicistes» Russel-Whitehead o'l «formalismu matemáticu» del so contemporaneu Giuseppe Peano y más apocayá del «conxuntu de matemáticos» Nicolas Bourbaki . La comunidá matemática al completu podría embarcase en problemes qu'él identificó como aspeutos cruciales nes árees de la matemática qu'él consideró como claves.
Llanzó'l conxuntu de problemes na conferencia "Los problemes de la matemática" presentada mientres el cursu del Segundu Congresu Internacional de Matemáticos celebráu en París. Esta ye la introducción a la conferencia de Hilbert:
- ¿Quién ente nós nun taría contentu de llevantar el velu tres el que s'escuende'l futuru; reparar los desarrollos por venir de la nuesa ciencia y los secretos del so desenvolvimientu nos sieglos que sigan? ¿Cual va ser l'oxetivu escontra'l que va tender l'espíritu de les xeneraciones futures de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos fechos va revelar el nuevu sieglu nel vastu y ricu campu del pensamientu matemáticu?
Presentó menos de la metá de los problemes nel Congresu, que fueron publicaos nes actes. Estendió'l panorama nuna publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemes de Hilbert. El testu al completu ye importante, yá que la exéxesis de les cuestiones puede siguir siendo materia d'alderique inevitable, cada vegada que se preguntar cuántes fueron resueltes:
1. Problema de Cantor sobre'l cardinal del continuu. ¿Cuál ye'l cardinal del continuu?
2. La compatibilidá de los axomes de l'aritmética. ¿Son compatibles los axomes de l'aritmética?
3. La igualdá de los volúmenes de dos tetraedros d'igual base ya igual altor.
4. El problema de la distancia más curtia ente dos puntos. ¿Ye la llinia recta la distancia más curtia ente dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier xeometría?
5. Establecer el conceutu de grupu de Lie, o grupu continuu de tresformamientos, ensin asumir la diferenciabilidad de les funciones que definen el grupu.
6. Axiomatización de la física. ¿Ye posible crear un cuerpu axomáticu pa la física?
7. La irracionalidá y trescendencia de ciertos númberos como y, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los númberos primos.
9. Demostración de la llei más xeneral de reciprocidá nun cuerpu de númberos cualesquier.
10. Establecer métodos efectivos de resolución d'ecuaciones diofánticas.
11. Formes cuadráticas con coeficientes alxebraicos cualesquier.
12. La estensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominiu de racionalidá alxebraica.
13. Imposibilidá de resolver la ecuación xeneral de séptimu grau per mediu de funciones de namái dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemes completos de funciones.
15. Fundamentación rigorosa del cálculu enumerativo de Schubert o xeometría alxebraica.
16. Problema de la topoloxía de curves alxebraiques y de superficies.
17. La espresión de formes definíes por sumes de cuadraos.
18. Construcción del espaciu de los poliedros congruentes.
19. Les soluciones de los problemes regulares del cálculu de variaciones, ¿son siempres analítiques?
20. El problema xeneral de condiciones de contorna de Dirichlet.
21. Demostración de la esistencia d'ecuaciones diferenciales lliniales de clase fuchsiana, conocíos los sos puntos singulares y grupu monodrómico.
22. Uniformidá de les rellaciones analítiques per mediu de funciones automórficas: siempres ye posible uniformizar cualquier rellación alxebraica ente dos variables per mediu de funciones automorfas d'una variable.
23. Estensión de los métodos del cálculu de variaciones.
Dalgunos resolviéronse en poco tiempu. Otros hanse aldericáu mientres tol sieglu XX, y anguaño llegóse a la conclusión de qu'unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Dalgunos siguen siendo anguaño un retu pa los matemáticos.
Formalismu
[editar | editar la fonte]Siguiendo l'enclín que se convirtiera n'estándar a metá de sieglu, el conxuntu de problemes de Hilbert tamién constituyía una especie de manifiestu, qu'abrió la vía pal desenvolvimientu de la escuela del Formalismu matemáticu, una de los trés escueles matemátiques más importantes del sieglu XX. D'alcuerdu al formalismu, la matemática ye un xuegu —carente de significáu— nel qu'unu prauticar con símbolos carentes de significáu d'alcuerdu a unes regles formales establecíes de mano. Por tanto ye una actividá de pensamientu autónoma. Sicasí, hai marxe pa la dulda al respeutu de si la mesma visión de Hilbert yera simplistamente formalista nesti sentíu.
El programa de Hilbert
[editar | editar la fonte]En 1920 propunxo de forma esplícita un proyeutu d'investigación (en metamatemática, como se llamó entós) qu'acabó siendo conocíu como programa de Hilbert. Quería que la matemática fora formulada sobre unes bases sólides y dafechu lóxiques. Creía que, en principiu, esto podía llograse, amosando que:
- tola matemática siguir d'un sistema finito d'axomes escoyíos correutamente; y #
que tal sistema axomáticu puede probase consistente.
Paecía tener razones téuniques y filosófiques pa formular esta propuesta. Esto afirmaba'l so disgustu polo que se diera a conocer como ignorabimus, qu'entá yera un problema activu nel so tiempu dientro del pensamientu alemán, y que podía rastrexase nesa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.
El programa sigue siendo reconocible na filosofía de la matemática más popular, onde se-y llama de normal formalismu. Por casu, el grupu Bourbaki adoptó una versión selectivo y esleío como fayadiza pa los requisitos de los sos proyeutos ximielgos de (a) escribir trabayos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axomáticu como ferramienta d'investigación. Esti enfoque tuvo ésitu ya influencia en rellación col trabayu de Hilbert na álxebra y l'analís funcional, pero nun consiguió cuayar igual colos sos intereses en física y lóxica.
El trabayu de Gödel
[editar | editar la fonte]Hilbert y los matemáticos de talentu que trabayaron con él nesta empresa taben dedicaos al proyeutu. El so intentu de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definíos, qu'esaniciaría les incertidumes teóriques, diba sicasí a acabar en derrota.
Gödel demostró que nun se podía demostrar la completitud de nengún sistema formal non contradictoriu que fuera abondo ampliu pa incluyir siquier l'aritmética, namái por aciu los sos propios axomes. En 1931 el so teorema de la incompletitud amosó que l'ambiciosu plan de Hilbert yera imposible tal como se plantegaba. El segundu requisitu nun podía combinase col primeru de forma razonable, mientres el sistema axomáticu seya genuinamente finito.
Sicasí, el teorema de completitud nun diz nada al respeutu de la demostración de la completitud de la matemática por aciu un sistema formal distintu. Los llogros posteriores de la teoría de la demostración a lo menos clarificaron la rellación de la consistencia coles teoríes d'interés principal pa los matemáticos. El trabayu de Hilbert empezara lóxicu nel so camín a la clarificación; la necesidá d'entender el trabayu de Gödel llevó entós al desenvolvimientu de la teoría de la computabilidad y dempués de la lóxica matemática como disciplina autónoma na década de 1930–1940. D'esti 'alderique' nació direutamente la base pa la informática teórica d'Alonzo Church y Alan Turing.
La escuela de Göttingen
[editar | editar la fonte]Ente los alumnos de Hilbert atópense Hermann Weyl, el campeón mundial d'axedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann foi asistente so. Na Universidá de Göttingen, Hilbert atopóse arrodiáu per un círculu social constituyíu por dalgunos de los matemáticos más importantes del sieglu XX, como Emmy Noether y Alonzo Church.
Analís funcional
[editar | editar la fonte]Alredor de 1909, Hilbert dedicar al estudiu d'ecuaciones diferenciales ya integrales; el so trabayu tuvo consecuencies direutes en partes importantes l'analís funcional modernu. Pa poder llevar a cabu estos estudios, Hilbert introdució'l conceutu d'un espaciu euclideu d'infinites dimensiones, llamáu más tarde espaciu de Hilbert. El so trabayu nesta parte del analís apurrió la base d'importantes contribuciones a la física matemática nos dos décades siguientes, anque en direiciones que daquella non se podíen antemanar. Más tarde, Stefan Banach amplificó'l conceutu, definiendo los espacios de Banach. L'espaciu de Hilbert ye por sigo mesma la idea más importante del analís funcional, que creció al so alredor mientres el sieglu XX.
Física
[editar | editar la fonte]Hasta 1912, Hilbert foi de forma cuasi esclusiva un matemáticu puru». Cuando entamaba faer una visita a Bonn, onde taba somorguiáu nel estudiu de la física, el so amigu y colega matemáticu Hermann Minkowski faía chistes diciendo que tenía que pasar 10 díes en cuarentena enantes de poder visitar a Hilbert. En realidá, Minkowski paez ser responsable de la mayoría d'investigaciones de Hilbert en física anteriores a 1912, incluyíu'l so seminariu conxuntu sobre la tema en 1905.
En 1912, tres años tres la muerte del so amigu, camudó'l so oxetivu escontra esta tema de forma cuasi esclusiva. Iguó que se-y asignara un tutor en física».[13] Empezó estudiando la teoría cinética de los gases y pasó depués a la teoría elemental de radiación y a la teoría molecular de la materia. Inclusive tres l'españíu de la guerra en 1914, siguió celebrando seminarios y clases onde se siguíen de cerca los trabayos d'Einstein ente otros.
Hilbert convidó a Einstein a Göttingen por qu'impartiera una selmana de lleiciones ente xunu y xunetu de 1915 sobre relatividá xeneral y la so teoría de la gravedá en desenvolvimientu (Sauer 1999, Folsing 1998). L'intercambiu d'idees llevó a la forma final de les ecuaciones de campu de la Relatividá Xeneral, en concretu les ecuaciones de campu d'Einstein y l'aición d'Einstein-Hilbert. Anque Einstein y Hilbert nun llegaron nunca a engardise nuna disputa pública sobre prioridá, hubo daqué de discutiniu sobre'l descubrimientu de les ecuaciones de campu.
Amás, el trabayu de Hilbert antemanó y asistió a delles meyores na formulación matemática de la mecánica cuántica. El so trabayu foi clave pal de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica de matrices de Werner Heisenberg y la ecuación d'onda d'Erwin Schrödinger, y la so espaciu de Hilbert xuega un papel importante na teoría cuántica. En 1926, von Neumann amosó que si los estaos atómicos entendiérense como vectores nel espaciu de Hilbert, entós corresponderíense tantu cola teoría de función d'onda de Schrödinger como coles matrices de Heisenberg.
Por aciu esta inmersión na física, trabayó en da-y rigor a la matemática que la sostién. Anque ye bien dependiente de la matemática avanzada, el físicu tiende a ser «desdexáu» con ella. Pa un matemáticu puru» como Hilbert, esto yera «feu» y malo d'entender. Al empezar a entender la física y la manera en que los físicos usaben la matemática, desenvolvió una teoría matemáticamente coherente pa lo qu'atopó, principalmente nel área de les ecuaciones integrales. Cuando'l so colega Richard Courant escribió'l clásicu Métodos de física matemática incluyó delles idees de Hilbert, y añadió el so nome como coautor inclusive anque Hilbert nun llegó a contribuyir al escritu. Hilbert dixo que «la física ye demasiáu dura pa los físicos», implicando que la matemática necesaria taba lloñe del so algame polo xeneral; el llibru de Courant-Hilbert facilitó-yos les coses.
Teoría de númberos
[editar | editar la fonte]Hilbert unificó'l campu de la teoría alxebraica de númberos col so tratáu de 1897 Zahlbericht (lliteralmente 'informe sobre númberos'). Ablayó'l problema de Waring nel sentíu ampliu. Dende entós tuvo pocu más que dicir sobre la tema; pero la emerxencia de les formes modulares de Hilbert na disertación d'un estudiante implica que'l so nome ta más xuníu a una área importante.
Propunxo una serie de conxetures sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceutos fueron bien influyentes, y la so propia contribución queda patente nos nomes del cuerpu de clase de Hilbert y el símbolu de Hilbert de la teoría llocal de cuerpos de clases. Los resultaos sobre estes conxetures quedaron probaos na so mayoría sobre 1930, tres l'importante trabayu de Teiji Takagi que lo estableció como'l primer matemáticu xaponés de nivel internacional.
Hilbert nun trabayó nes árees principales de la teoría analítica de númberos, pero'l so nome quedó xuníu a la conxetura de Hilbert-Pólya, por razones anecdótiques.
Charles, ensayos y contribuciones misceláneas
[editar | editar la fonte]La so paradoxa del Grand Hotel, una meditación sobre les estrañes propiedaes del infinitu, úsase de cutiu en testos populares sobre númberos cardinales infinitos.
Últimos años
[editar | editar la fonte]Hilbert vivió pa ver a los nazis purgar a la mayoría de miembros facultativos sobresalientes de la Universidá de Göttingen, en 1933. [1]. Ente aquellos forzaos a colase tuvieron Hermann Weyl, qu'ocupara la cátedra de Hilbert al retirase en 1930, Emmy Noether y Edmund Landau. Unu de los qu'hubo de dexar Alemaña foi Paul Bernays, collaborador de Hilbert en lóxica matemática y coautor con él del importante llibru Grundlagen der Mathematik (qu'acabó presentándose en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Ésta foi una secuela del llibru de Hilbert-Ackermann Fundamentos de lóxica teórica de 1928.
Un añu dempués, asistió a un llacuada y sentar al llau del nuevu Ministru d'Educación, Bernhard Rust. Rust preguntó-y: «¿Cómo va la matemática en Göttingen agora que foi lliberada de la influencia xudía?» A lo que Hilbert contestó, «¿La matemática en Göttingen? Yá nun queda nada d'eso».[14]
Wir müssen wissen
Wir werden wissen
Pa cuando Hilbert morrió en 1943, los Nazis reestructuraren cuasi por completu la universidá, yá que enforma del personal facultativo anterior yera xudíu o taba casáu con xudíos. Al funeral de Hilbert asistió menos d'una docena de persones, namái dos de los cualos yeren colegues académicos.[15]
Na so tumba, en Göttingen, puede lleese el so epitafiu:
- Wir müssen wissen, wir werden wissen ('Tenemos De saber, vamos saber').
Irónicamente, el día primero que Hilbert pronunciara esta frase, Kurt Gödel presentaba la so tesis, que contenía'l famosu teorema de incompletitud: hai coses que sabemos que son ciertes, pero que nun podemos probar.
Ver tamién
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Nota y referencies
[editar | editar la fonte]- ↑ Afirmao en: catálogu de la Biblioteca Nacional Checa. Identificador NKCR AUT: jn19990003503. Data de consulta: 18 xunetu 2023.
- ↑ 2,0 2,1 Afirmao en: Gemeinsame Normdatei. Data de consulta: 9 abril 2014. Llingua de la obra o nome: alemán. Autor: Biblioteca Nacional d'Alemaña.
- ↑ Afirmao en: Gemeinsame Normdatei. Data de consulta: 30 avientu 2014. Llingua de la obra o nome: alemán. Autor: Biblioteca Nacional d'Alemaña.
- ↑ URL de la referencia: http://www.w-volk.de/museum/grave34.htm.
- ↑ Afirmao en: Gemeinsame Normdatei. Llingua de la obra o nome: alemán. Autor: Biblioteca Nacional d'Alemaña.
- ↑ Biblioteca Nacional de Francia. «autoridaes BNF» (francés). Consultáu'l 10 ochobre 2015.
- ↑ URL de la referencia: https://medal.kpfu.ru/laureatyi-medali/.
- ↑ Afirmao en: Complete List of Royal Society Fellows 1660-2007. Páxina: 169. Editorial: Royal Society.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 Afirmao en: nobelprize.org. Identificador de nominación de persona al Premio Nobel: 4165. Editorial: Fundación Nobel. Llingua de la obra o nome: inglés.
- ↑ «MacTutor History of Mathematics archive».
- ↑ Afirmao en: www.accademiadellescienze.it. Accademia delle Scienze di Torino ID: David-Hilbert. Data de consulta: 1r avientu 2020. Llingua de la obra o nome: italianu.
- ↑ Corry
- ↑ Reid p. 129.
- ↑ Reid p. 205.
- ↑ Reid p. 213.
Bibliografía
[editar | editar la fonte]Bibliografía primaria pa la traducción al inglés:
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- 1918. "Axiomatic thought," 1115-14.
- 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-33.
- 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134-47.
- 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157-65.
- 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148-56.
- 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129-38.
- 1925. "On the infinite," 367-92.
- 1927. "The foundations of mathematics," con comentarios de Weyl y un apéndiz de Bernays, 464-89.
- van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press.
- Hilbert, David (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4. (un grupu de lleiciones accesibles al públicu, impartíes orixinalmente a ciudadanos de Göttingen)
Secundaria:
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- Bottazini, Umberto (2003). Il flauto di Hilbert. Storia della matemática. UTET. ISBN 88-7750-852-3.
- Corry, L., Renn, J., y Stachel, J. (1997). «Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Apueste». Science 278.
- Grattan-Guinnes, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton Uni. Press.
- Gray, Jeremy (2003). El retu de Hilbert. ISBN 84-8432-465-6.
- Odifreddi, Piergiorgio (2003). Divertimento Xeométricu - Da Euclide ad
Hilbert. Bollati Boringhieri. ISBN 88-339-5714-4. Una esposición clara de los "errores" de Euclides y de les soluciones presentaes nel Grundlagen der Geometrie, con referencia a la xeometría non euclídea.
- Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer. ISBN 0-387-94674-8. La biografía n'inglés.
- Sauer, Tilman (1999). «The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics». Arch. Hist. Exact Sci. v53. pp 529-575. (Disponible de la Cornell University Library como PDF descargable [2])
- Thorne, Kip (1995). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-31276-3.
- Folsing, Albrecht (1998). Albert Einstein. Penguin.
- Mehra, Jagdish (1974). Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
Enllaces esternos
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Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a David Hilbert.
Wikiquote tien frases célebres suyes o que faen referencia a David Hilbert.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «David Hilbert» (n'inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidá de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert.html.
- David Hilbert nel Mathematics Genealogy Project
- Los 23 problemes de Hilbert
- El programa de Hilbert
- Obres de David Hilbert nel Proyeutu Gutenberg
- Charra de Hilbert na radio grabada en Königsberg en 1930 (n'Alemán) Archiváu 2006-02-14 en Wayback Machine, con traducción Archiváu 2020-11-12 en Wayback Machine al inglés.
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