Numero primero

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Sistema de numeros en matematicas

Conchuntos de numeros

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

naturals ℕ
negativos
enters ℤ
racionals ℚ
irracionals
reals ℝ
complexos ℂ

Numeros destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := ${\sqrt {-1}}$

Numeros con propiedatz destacables

Primers $\mathbb {P}$ , abundants, amigos, compuestos, defectivos, perfectos, sociables, alchebraicos, transcendents

Estensions d'os
numeros complexos

Numeros especials

Nominals
Ordinals {1er, 2ndo, ...} (d'orden)
Cardinals $\{\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},...\}$
Sinfinito $\infty$
Numeros sinfinitos
Numeros transfinitos

Altros numeros importants

Sequencia d'enters
Constants matematicas
Listau de numeros
Numeros grans

Sistemas de numeración

Arabe, armenia, atica (griega), babilonica, cirilica, echipciana, etrusca, griega, hebrea, india, chonica (griega), chaponesa, khmer, maya, romana, tailandesa, chinesa.

Numerals en base constant:

Os numeros primers son un subconchunto d'os numeros naturals que complega toz os elementos d'iste conchunto que nomás tienen un unico divisor diferent a la unidat. Os primers vinte numeros primers son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71.

Note-se que toz os numeros naturals son divisibles por els mesmos y por a unidat.

O numero primero mas chicot ye o 2 y, de feito, ye o unico numero primero que ye tamién par, ya que cualsiquier par mas gran ye multiple de dos.

O teorema fundamental de l'aritmetica estableix que cualsiquier entero positivo superior a 1 puet representar-se siempre como un producto de numeros primers, y ista representación (factorización) ye unica. O teorema d'Euclides contrimuestra que existen sinfinitos numeros primers. Amás se sabe que no i hai garra limite t'a distancia entre dos primers consecutivos, ye decir, dau un numero N, se puede trobar dos numeros primers a y b tals que entre a y b no n'i aiga d'atros. Encara no s'ha puesto prebar, pero ye conchectura, que existen sinfinitos numeros primers d'a forma p₁ = p₂ + 2 (estando p₁ y p₂ primers) u primers bezons. Sí que s'ha contrimostrau que os unicos primers trichemins (primers d'a forma p₁ = p₂ + 2 i p₂ = p₃ + 2) son 3, 5 y 7.

Contrimuestra d'a infinitut d'os numeros primers

A primera contrimuestra d'a infinitut d'os numeros primers la proporciona Euclides en o libro IX d'os suyos Elementos. Ye un clasico eixemplo de contrimuestra por reducción a l'absurdo:

Suposemos que existe un numero finito de primers, y que P ye o mas gran d'els. Construyimos alavez o numero (2·3·5·7·11·...·P) + 1, ye decir, o producto de toz os numeros primers mas uno. Iste numero no ye divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni, a la finitiva, por garra numero primero, porque en toz os casos a división da 1 como resta. Por ixo nomás puet estar que P siga primero u que que siga divisible por unatro numero primero que se trobe entre P i (2·3·5·7·11·...·P) + 1; en cualsiquiera d'os casos hemos trobau un numero primero mas gran que P, contradecindo a suposición inicial y, per ixo mesmo, contrimostrando o teorema.

Clases de primers

Numero primero de Mersenne (de forma M_p = 2^p - 1 an que p ye primer)
Numero primero de Sophie Germain (un p primero tal que 2p + 1 ye primero)
Numeros primers bezons (p y p + 2 primers)
Numero primero de Fermat (de forma $2^{2^{n}}+1$ )

Aplicacions

D'entre muito tiempo, a teoria de numeros en cheneral, y o estudio d'os numeros primers en particular, yeran vistos como l'eixemplo canonico d'as matematicas puras, sin d'aplicacions difuera d'o propio intrés d'estudiar o tema. En particular, teoricos de numeros como o matematico britanico G. H. Hardy se feban argüellosos de fer una faina que no teneba brenca d'importancia militar.^[1] Entremistanto, ista visión quedaba esmicazada en os anyos 1970 cuan s'anunciaba publicament que os numeros primers se podrían fer servir como a base t'a creyación d'algorismos de criptografía de clau publica. Os numeros primers tamién s'emplegan ta construir as tablas hash y os cheneradors de numeros pseudoaleatorios.

Cuan se disenyan engranaches os numeros de dients d'as ruedas dentadas se mira de trigar-los que sigan numeros primers u parellas de numeros primers entre els. D'ista traza cada dient d'una d'as ruedas entra en contacto un mesmo numero de vegadas con cadagún d'os dients de l'atra rueda y o desgaste ye uniforme.

Criptografía de clau publica

Ta más detalles, veyer l'articlo criptografía de clau publicaveyer os articlos [[{{{2}}}]] y [[{{{3}}}]]veyer os articlos [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] y [[{{{6}}}]]veyer os articlos [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] y [[{{{10}}}]].

L'algorismo RSA se basa en a obtención d'a clau publica por meyo d'a multiplicación de dos numeros grans (mas grans que 10¹⁰⁰) que sigan primers. A seguridat d'iste algorismo se basa en o feito que no i hai trazas rapedas de factorizar un numero gran en os suyos factors primers emplegando ordenadors tradicionals. A computación cuantica podría furnir en o futuro una solución a iste problema de factorización.

Os primers de Mersenne se troban entre os mas grans conoixius (2^43112609-1, de doce millons nueucientos mil dichitos, ye dica setiembre de 2008 o mas gran d'os conoixius).

Contino s'amuestra un eixemplo de función sencilla en C++ ta trobar si un numero ye primero u no:

bool ye_primero(int n) {
   if(n <= 1) return false;
   for(int i = 2; i*i <= n; ++i){
       if(n % i == 0) return false;    
   }
   return true;
}

Referencias

↑ , G.H. (1940), A Mathematician's Apology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-42706-1. “No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years”

Se veiga tamién

Datos: Q49008
Multimedia: Prime numbers / Q49008

[1] , G.H. (1940), A Mathematician's Apology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-42706-1. “No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years”

[1]