Eksponensiële funksie

Die eksponensiële funksie is vlak (naby 0) vir negatiewe waardes van x, maar word vinnig groter by hoër, positiewe waardes van x.

Die eksponensiële funksie, genoteer as exp(x) of e^x, is soos die naam aandui, 'n funksie van die eksponent wat die getal e as grondtal gebruik, en wat ook die grondtal van die natuurlike logaritme is. Die eksponensiële funksie is 'n belangrike en veel gebruikte funksie in wiskunde.

Formele definisie

Die eksponensiële funksie kan op verskillende wyses formeel gedefinieer word. Enkele van die gangbare definisies sluit in:

• as 'n oneindige reeks

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

• as die limiet van 'n ry:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}$

• as unieke oplossing van die beginwaardeprobleem

$f'(x)=f(x)\!\quad ,\quad f(0)=1$

Die eksponensiële funksie is altyd positief (groter as nul) en neem toe met groter wordende x-waardes. Die grafiek van die funksie raak egter nooit aan die x-as nie, hoewel hy dit benader. Die eksponensiële funksie is die inverse van die natuurlike logaritme, ln(x), was gedefinieer is vir alle positiewe waardes van x.