跳去內容

圓羣

出自維基百科,自由嘅百科全書
單位圓

數學入面,圓羣(符號係[註 1]),係所有係1嘅複數組成嘅乘法羣,亦即係Argand平面上面嘅單位圓,又或者可以講係單位複數[1][2]

圓羣係複數乘法羣嘅子羣,由於交換嘅,所以都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做,一階嘅么正矩陣羣,呢個羣對複數平面進行旋轉作用,所以圓羣可以用旋轉角度參數化

呢個亦都係圓羣作爲李羣指數映射

圓羣喺Pontryagin對偶理論[3]同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話,圓羣其實就係1-環面英文1-torus),推而廣之,同自己直積n次)就係n-環面(英文n-torus)。

簡介

[編輯]
鐘上面嘅加法

一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係,因爲淨係睇鐘面嘅話,係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如,9個鐘加4個鐘,就咁計應該係13個鐘,但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘,因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話,9個鐘+4個鐘=1個鐘(mod 12個鐘)。[4][5]

另一個睇法,就係實數加法,但係淨係睇小數部分,唔睇整數部分,例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446,答案應該係2.155,但係我哋丟咗個整數部分2,剩返個0.155,亦即係話,係圓羣入面,0.784 + 0.925 + 0.446 = 0.155,呢個例子亦都展示咗(睇埋下邊同構嘅部分)。

拓撲、分析結構

[編輯]
圓羣係一個一維緊緻交換李羣。

圓羣唔單止係一個代數物體,佢仲有好自然拓撲微分結構,就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣,佢繼承嘅子集拓撲。由於喺入面乘法同乘法逆元係光滑映射,圓羣就有個拓撲羣李羣嘅結構。而且,由於單位圓喺複平面入面係一個閉集,圓羣係嘅一個閉子羣

李羣嘅角度嚟睇,圓羣係一個單參數羣,而事實上,同構嚟講,圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣,而且,任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同同構。

同構

[編輯]

可以用好多方法去解讀圓羣,亦即係話,圓羣有好多唔同嘅推廣方向,呢到列幾個出嚟[2]

U(1)

[編輯]

數學入面,係指n階么正矩陣羣,而就係一階么正矩陣羣,根據定義就係嘅矩陣,而且入面個數要係單位複數,正正就同圓羣嘅條件一樣,所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個:

R/Z

[編輯]
將實數線睇做圓嘅覆蓋空間,

指數函數可以將實數羣打去圓羣上面:

呢個係一個羣同態對應住單位圓上面,由x軸開始逆時針數,用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅:

呢個指數函數係一個滿射,但係唔係單射,佢嘅核係嘅整數倍,可以寫做,所以根據第一同構定理我哋知道,做翻個縮放我哋就可以話喇。

呢一個商亦都可以用短正合序列表達出嚟:[2]

SO(2)

[編輯]

如果用實矩陣嚟寫啲複數嘅話,咁單位複數就對應住行列式係1嘅正交矩陣喇,亦即係話,

呢個函數其實係由圓羣去二階特別正交羣羣同構,因爲

中間嗰步用咗三角函數恆等式,呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用,而且每一個(圍住原點嘅)旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

性質

[編輯]
圓羣係Prüfer羣嘅完備化

每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣,換言之,用對稱嘅角度嚟睇嘅話,任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用,係物理學入面,旋轉不變性自發性打爛對稱都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣,但係封閉子羣就得嗰啲單位根,對任何正整數,所有n次單位根組成咗個n階循環羣。掉返轉嚟睇,圓羣可以睇做循環羣嘅極限[3]

實數羣有一個性質,就係佢係b-進分數(b>1)嘅拓撲閉包;圓羣有個類似嘅性質,佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

(2階循環羣)對圓羣有個反轉作用,所以可以考慮半直積,呢個羣其實同同構[6],幾何上嘅諗法係,圓嘅所有對稱都可以寫做「反轉或者唔反轉」接住一個旋轉。因為呢個係同嘅半直積,所以亦都可以話廣義二面體羣。呢個羣亦都係無限二面體羣嘅連續版本,而任何嘅二面體羣都作為子羣裝咗喺無限二面體羣入面,所以亦都裝喺呢個羣入面。

表示理論

[編輯]

圓羣嘅表示(representation)好容易描述,因爲根據Schur引理所有阿標羣不可約複表示都係一維嘅,而且圓羣係緊緻嘅,所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面,亦即係話,圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構[7]

嚟代表以下嘅表示(n整數):

咁嘅話就係共軛表示

留意返如果n係0嘅話,就係當然表示,其他n代表嘅都係一維表示,即係特徵。特徵羣係由生成嘅無限循環羣

圓羣嘅不可約實表示就係當然表示同埋

佢哋係喺入面。呢到我哋淨係攞n係正整數,因爲係等價嘅。

純代數結構

[編輯]

呢一段淨係考慮代數結構,唔考慮拓撲

圓羣係一個可除羣[8],佢嘅扭子羣係所有嘅單位根,係同同構嘅[9]。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理,我哋知道係同構於同一堆唔知幾多個嘅直和

爲咗令到兩邊嘅基數啱數,嘅數量一定要係(連續統嘅基數)咁多個,但係咁多個嘅直和其實係同同構嘅,因爲可以睇做維度係-向量空間,所以,

同樣道理,亦都有,因爲都係一個可除阿標羣,個扭子羣同嘅扭子羣一樣。亦即係話雖然嘅一個真子羣,但係佢哋作為一個羣係同構嘅。[10]

其他性質

[編輯]
  • 如果係一個局部緊緻郝斯多夫羣,而且佢每個真閉子羣都只有有限個閉子羣,咁就係拓樸同構於圓羣。[11]

睇埋

[編輯]

參考

[編輯]
  1. James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (第Fifth版). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a unit complex number is a complex number of unit absolute value
  2. 2.0 2.1 2.2 "circle group in nLab". ncatlab.org. 喺2022-05-16搵到.
  3. 3.0 3.1 Gowers, Timothy (2010). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press.
  4. "Maths in three minutes: Groups". Plus Maths (英文). 喺2022-05-21搵到.
  5. Samimullah, Miakhel (12-2020). "The Usage of Cyclic Group in the Clock" (PDF). International Journal of Science and Research (IJSR). 9. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
  6. "Orthogonal group:O(2,R) - Groupprops". groupprops.subwiki.org. 喺2022-05-16搵到.
  7. Kirillov, Aleksandr A. (1976). Elements of the Theory of Representations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (英文).第220卷. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-66243-0. ISBN 978-3-642-66245-4.
  8. "divisible group in nLab". ncatlab.org. 喺2022-05-16搵到.
  9. "Q/Z in nLab". ncatlab.org. 喺2022-05-21搵到.
  10. Clay, James R (1969–10). "The punctured plane is isomorphic to the unit circle". Journal of Number Theory (英文). 1 (4): 500–501. doi:10.1016/0022-314X(69)90011-0.{{cite journal}}: CS1 maint: date format (link)
  11. Morris, Sidney A. (1987–10). "The circle group". Bulletin of the Australian Mathematical Society (英文). 36 (2): 279–282. doi:10.1017/S000497270002654X. ISSN 0004-9727.{{cite journal}}: CS1 maint: date format (link)

參考書

[編輯]

[編輯]
  1. 喺呢篇入邊統一用

連結

[編輯]