Satır basamak formu

Lineer cebirde bir matris, Gauss eliminasyonunun sonucu olan şekle sahipse eşelon biçimindedir.

Bir matrisin satır basamak formunda olması, satırlar üzerinde Gauss eliminasyonu işlemleri yapıldığı anlamına gelir. Sütun basamak formu ise Gauss eliminasyonunun sütunlar üzerinde yapılmış olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, bir matrisin transpozu satır basamak biçiminde ise, matris sütun basamak biçimindedir. Bu nedenle bu makalenin geri kalanında yalnızca satır basamaklı formlar ele alınacaktır. Sütun basamak formunun benzer özellikleri, tüm matrislerin yer değiştirmesi ile kolayca çıkarılabilir. Bir matris bu özellikleri taşıyorsa satır basamak formundadır.

• Yalnızca sıfırlardan oluşan tüm satırlar en alttadır.
• Sıfırdan farklı her satırın baştaki değeri (sıfırdan sonra gelen en soldaki değer), yukarıdaki satırın baştaki değerinin sağındadır.

Bazı metinler baş katsayının 1 olması şartını da ekler, bazıları ise katsayıların 1 olduğu örnekleri indirgenmiş satır basamaklı form olarak kabul eder.

Bu iki koşul, bir sütundaki baş katsayının altındaki tüm değerlerin sıfır olduğu anlamına gelir.

Aşağıdaki, satır basamak formundaki 4x5'lik bir matris örneğidir, bu matris indirgenmiş satır basamak formunda değildir (aşağıya bakınız):

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]$

Matrislerin kerte ve boşuzay gibi pek çok özelliği, satır basamak formlarından kolayca çıkarılabilir.

İndirgenmiş satır basamak formu

Bir matris, aşağıdaki koşulları karşılıyorsa indirgenmiş satır basamaklı formdadır (aynı zamanda satır kanonik formu da denir):

• Sıralı basamak formundadır.
• Sıfırdan farklı her satırın başındaki değer 1'dir.
• Başında 1 bulunan her sütunun diğer tüm değerleri sıfırdır.

Bir matrisin indirgenmiş sıralı basamak formu Gauss-Jordan eliminasyonu ile hesaplanabilir. Satır basamaklı formundan farklı olarak, bir matrisin indirgenmiş satırlı basamaklı biçimi benzersizdir ve hesaplamak için kullanılan algoritmaya bağlı değildir. Belirli bir matris için, satır basamak formu benzersiz olmamasına rağmen, tüm satır basamak ve indirgenmiş satır basamak formları aynı sayıda sıfır satıra sahiptir ve pivotlar aynı indekslerde yer almaktadır.

Aşağıdaki, indirgenmiş satır basamak basamak formundaki bir matris örneğidir. Görüldüğü üzere, matrisin sol kısmı her zaman birim matris olmayabilir.

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

Tamsayı katsayılı matrisler için Hermite normal formu, kalanlı bölme kullanılarak ve herhangi bir rasyonel sayı veya payda kullanılmadan hesaplanabilen bir satır basamak formudur. Öte yandan, tam sayı katsayılı bir matrisin indirgenmiş basamak formu genellikle tam sayı olmayan katsayılar içerir.

Satır kademe formuna dönüşüm

Gauss eliminasyonu adı verilen sonlu temel satır işlemleri dizisi aracılığıyla, herhangi bir matris satır basamak formuna dönüştürülebilir. Temel satır işlemleri matrisin satır uzayını koruduğu için, satır basamak basamak formunun satır uzayı orijinal matrisin satır uzayıyla aynıdır.

Ortaya çıkan kademeli form benzersiz değildir; basamak formundaki herhangi bir matris, yukarıdaki satırlardan birine bir satırın skaler katının eklenmesiyle (eşdeğer) basamak formuna yerleştirilebilir, örneğin:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {\text{2. satırı 1. satıra ekleme}} {\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

Bununla birlikte, her matrisin benzersiz bir indirgenmiş sıralı basamak formu vardır. Yukarıdaki örnekte indirgenmiş sıralı basamak formu şu şekilde bulunabilir:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {\text{2. satırı -3 ile çarparak 1. satırdan çıkar}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

Bu, indirgenmiş satırlı basamak formunun sıfırdan farklı satırlarının, orijinal matrisin satır uzayı için benzersiz indirgenmiş satır basamaklı oluşturma kümesi olduğu anlamına gelir.