三角换元法

三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。

含有a²-x²的积分

在积分

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

中，我们可以用以下的代换

$x=a\sin \theta ,\ dx=a\cos \theta \,d\theta$

$\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$

这样，积分变为：

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=\int d\theta =\theta +C\\&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C\\\end{aligned}}$

注意以上的步骤需要$a>0$和$\cos \theta >0$；我们可以选择$a$为$a^{2}$的算术平方根，然后用反正弦函数把$\theta$限制为$-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$。

对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当$x$从0增加到${\frac {a}{2}}$时，$\sin \theta$从0增加到${\frac {1}{2}}$，所以$\theta$从0增加到${\frac {\pi }{6}}$。因此，我们有：

$\int _{0}^{\frac {a}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.$

含有a²+x²的积分

在积分

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$

中，我们可以用以下的代换：

$x=a\tan \theta ,\ dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta$

$\theta =\arctan {\frac {x}{a}}$

这样，积分变为：

${\begin{aligned}\quad \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}[1+\tan ^{2}\theta ]}}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\&={\frac {\theta }{a}}+C\\&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C\end{aligned}}$

（a > 0）。

含有x² − a²的积分

以下的积分

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$

可以用部分分式的方法来计算，但是，

$\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$

则必须要用换元法：

$x=a\sec \theta ,\ dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta$

$\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}$

${\begin{aligned}\quad \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int \sec \theta \ (\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}$

含有三角函数的积分

对于含有三角函数的积分，可以用以下的代换：

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du,\qquad \qquad u=\sin x$

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {-1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du\qquad \qquad u=\cos x$

$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du\qquad \qquad u=\tan {\frac {x}{2}}$

${\begin{aligned}\int {\frac {\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du\\&={\frac {1}{4}}\int (1-u^{4})\,du\\&={\frac {1}{4}}\left(u-{\frac {1}{5}}u^{5}\right)+C\\&={\frac {(1+3\cos x+\cos ^{2}x)\sin x}{5(1+\cos x)^{3}}}+C\end{aligned}}$

参见

• 正切半角公式