Wiener-folyamat

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894–1964) amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.

A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.

Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.

A Wiener-folyamat jellemzői

Definíció

Wiener-folyamat alatt olyan $W\colon \Omega \times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ sztochasztikus folyamatot értünk, amely kielégíti az alábbi négy tulajdonságot:

$W_{0}=0$ , azaz $\forall \omega \in \Omega \colon W(\omega ,0)=0$
Folytonos trajektóriájú, azaz minden $\omega \in \Omega$ esetén a $t\mapsto W(\omega ,t)$ leképezés mindenhol folytonos
Minden $0<t_{1}<t_{2}<...<t_{r}$ véges indexhalmazra a $W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},...,W_{t_{r}}-W_{t_{r-1}}$ változók függetlenek egymástól.
Minden $t\geq s\geq 0\,$ esetén $W_{t}-W_{s}\sim N(0,t-s)\,$ .

Mindez az $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ valószínűségi mező fölött. $W_{t}$ alatt az $\omega \mapsto W(\omega ,t)$ valószínűségi változót értjük.

N(μ, σ²) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ² szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s₁ < t₁ ≤ s₂ < t₂, akkor W_t₁−W_s₁ és W_t₂−W_s₂ független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W₀ = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [W_t, W_t] = t (mely azt jelenti, hogy W_t²−t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève-tételt használja fel.

Egy Wiener-folyamat a természetes filtrációjában martingál.

Kapcsolódó folyamatok

Ez a sztochasztikus folyamat:

X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}\,

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ². szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Speciális változatai a Brown-híd és a Brown-elhajlás.

A geometrikus Brown-mozgás:

e^{[\beta t-(\alpha ^{2}t/2)+\alpha W_{t}]}.\,

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck-folyamat.

{X_{t}=\mathrm {e} ^{-t}W_{\mathrm {e} ^{2t}}}

Az integrált Brown-mozgás

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: $W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)ds$ Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és $t^{3}/3$ szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciája $t\wedge s$ .^[1]