Szupertér

A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$, ahol x a Minkowski-tér, $\theta \,$ és ${\bar {\theta }}$ Grassmann-spinorok.

Grassmann-spinorok

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport – ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal – spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a $\theta _{a}\,$ "balkezes" és a ${\bar {\theta }}_{\dot {a}}$ "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

$\theta ^{2}\equiv \theta ^{a}\theta _{a},\quad {\bar {\theta }}^{2}\equiv {\bar {\theta }}_{\dot {a}}{\bar {\theta }}^{\dot {a}}$

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lent, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

$\theta ^{a}\theta _{a}=-\theta _{a}\theta ^{a}\,$

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

$\theta _{a}=\epsilon _{ab}\theta ^{b},\quad {\bar {\theta }}_{\dot {a}}=\epsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}{\bar {\theta }}^{\dot {b}}$

A négyesspinorok általános tulajdonságainak megfelelően a $\theta _{a}{\bar {\theta }}_{\dot {a}}$ szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

Szupereltolás

Az $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

$\theta \rightarrow \theta +\epsilon ,\quad {\bar {\theta }}\rightarrow {\bar {\theta }}+{\bar {\epsilon }}$

$x_{\alpha {\dot {\beta }}}\rightarrow x_{\alpha {\dot {\beta }}}+2i\epsilon _{\alpha }{\bar {\theta }}_{\dot {\beta }}-2i\theta _{\alpha }{\bar {\epsilon }}_{\dot {\beta }}$

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

Királis és antikirális szupertér

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza ${\bar {\theta }}$-t – $(x_{L},\theta )\,$ királis szupertér – vagy $\theta \,$-t – $(x_{R},{\bar {\theta }})$ antikirális szupertér, ahol:

$(x_{L})_{a{\dot {a}}}=x_{a{\dot {a}}}-2i\theta _{a}{\bar {\theta _{\dot {a}}}}$

$(x_{R})_{a{\dot {a}}}=x_{a{\dot {a}}}+2i\theta _{a}{\bar {\theta _{\dot {a}}}}$

Ezekkel a definíciókkal a szupertranszformáció a megfelelő szupertéren belül marad, azaz:

$\theta \rightarrow \theta +\epsilon \,$

${\bar {\theta }}\rightarrow {\bar {\theta }}+{\bar {\epsilon }}$

esetén:

$(x_{L})_{a{\dot {b}}}\rightarrow x_{a{\dot {b}}}-4i\theta _{a}{\bar {\epsilon _{\dot {b}}}}$

$(x_{R})_{a{\dot {b}}}\rightarrow x_{a{\dot {b}}}+4i\epsilon _{a}{\bar {\theta _{\dot {b}}}}$